Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81554 / 115151
↖ ↑ ↗
← S 79.407660°
E 43.994751°		 ← 56.14 m → S 79.407660°
E 43.997498°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.408165°
E 43.994751°		 ← 56.14 m →
3 155 m²		 S 79.408165°
E 43.997498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622211456298828 y=0.878536224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622211456298828 × 217)
    floor (0.622211456298828 × 131072)
    floor (81554.5)     		tx = 81554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878536224365234 × 217)
    floor (0.878536224365234 × 131072)
    floor (115151.5)     		ty = 115151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81554 / 115151 ti = "17/81554/115151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81554/115151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81554 ÷ 217
    81554 ÷ 131072     		x = 0.622207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115151 ÷ 217
    115151 ÷ 131072     		y = 0.878532409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622207641601562 × 2 - 1) × π
    0.244415283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76785326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878532409667969 × 2 - 1) × π
    -0.757064819335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.37838927464909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76785326} λ = 0.76785326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37838927464909))-π/2
    2×atan(0.0926997711945495)-π/2
    2×0.0924356012147567-π/2
    0.184871202429513-1.57079632675     		φ = -1.38592512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76785326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38592512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.407660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81554 KachelY 115151 0.76785326 -1.38592512 43.994751 -79.407660
    Oben rechts KachelX + 1 81555 KachelY 115151 0.76790120 -1.38592512 43.997498 -79.407660
    Unten links KachelX 81554 KachelY + 1 115152 0.76785326 -1.38593394 43.994751 -79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 81555 KachelY + 1 115152 0.76790120 -1.38593394 43.997498 -79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38592512--1.38593394) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38592512--1.38593394) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76785326-0.76790120) × cos(-1.38592512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183819936492636 × 6371000     		do = 56.1433401299796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76785326-0.76790120) × cos(-1.38593394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 56.1406921762378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38592512)-sin(-1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183819936492636-0.183811266778873)×R²
    abs(0.76790120-0.76785326)×8.66971376350945e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66971376350945e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66971376350945e-06×40589641000000     		ar = 3154.74452301439m²