Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81550 / 115150
↖ ↑ ↗
← S 79.407155°
E 43.983765°		 ← 56.15 m → S 79.407155°
E 43.986511°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
S 79.407660°
E 43.983765°		 ← 56.14 m →
3 151 m²		 S 79.407660°
E 43.986511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622180938720703 y=0.878528594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622180938720703 × 217)
    floor (0.622180938720703 × 131072)
    floor (81550.5)     		tx = 81550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878528594970703 × 217)
    floor (0.878528594970703 × 131072)
    floor (115150.5)     		ty = 115150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81550 / 115150 ti = "17/81550/115150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81550/115150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81550 ÷ 217
    81550 ÷ 131072     		x = 0.622177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115150 ÷ 217
    115150 ÷ 131072     		y = 0.878524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622177124023438 × 2 - 1) × π
    0.244354248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76766151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878524780273438 × 2 - 1) × π
    -0.757049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37834133774947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76766151} λ = 0.76766151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37834133774947))-π/2
    2×atan(0.0927042150406873)-π/2
    2×0.0924400071973799-π/2
    0.18488001439476-1.57079632675     		φ = -1.38591631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76766151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38591631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.407155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81550 KachelY 115150 0.76766151 -1.38591631 43.983765 -79.407155
    Oben rechts KachelX + 1 81551 KachelY 115150 0.76770945 -1.38591631 43.986511 -79.407155
    Unten links KachelX 81550 KachelY + 1 115151 0.76766151 -1.38592512 43.983765 -79.407660
    Unten rechts KachelX + 1 81551 KachelY + 1 115151 0.76770945 -1.38592512 43.986511 -79.407660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38591631--1.38592512) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38591631--1.38592512) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76766151-0.76770945) × cos(-1.38591631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183828596362517 × 6371000     		do = 56.1459850771462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76766151-0.76770945) × cos(-1.38592512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183819936492636 × 6371000     		du = 56.1433401299796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38591631)-sin(-1.38592512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183828596362517-0.183819936492636)×R²
    abs(0.76770945-0.76766151)×8.65986988068945e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65986988068945e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65986988068945e-06×40589641000000     		ar = 3151.31625639724m²