Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81545 / 115241
↖ ↑ ↗
← S 79.453003°
E 43.970032°		 ← 55.89 m → S 79.453003°
E 43.972778°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.453506°
E 43.970032°		 ← 55.89 m →
3 126 m²		 S 79.453506°
E 43.972778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622142791748047 y=0.879222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622142791748047 × 217)
    floor (0.622142791748047 × 131072)
    floor (81545.5)     		tx = 81545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879222869873047 × 217)
    floor (0.879222869873047 × 131072)
    floor (115241.5)     		ty = 115241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81545 / 115241 ti = "17/81545/115241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81545/115241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81545 ÷ 217
    81545 ÷ 131072     		x = 0.622138977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115241 ÷ 217
    115241 ÷ 131072     		y = 0.879219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622138977050781 × 2 - 1) × π
    0.244277954101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76742183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.758438110351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.38270359561489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76742183} λ = 0.76742183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38270359561489))-π/2
    2×atan(0.092300696116159)-π/2
    2×0.0920399117763014-π/2
    0.184079823552603-1.57079632675     		φ = -1.38671650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76742183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.970032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38671650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.453003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81545 KachelY 115241 0.76742183 -1.38671650 43.970032 -79.453003
    Oben rechts KachelX + 1 81546 KachelY 115241 0.76746976 -1.38671650 43.972778 -79.453003
    Unten links KachelX 81545 KachelY + 1 115242 0.76742183 -1.38672528 43.970032 -79.453506
    Unten rechts KachelX + 1 81546 KachelY + 1 115242 0.76746976 -1.38672528 43.972778 -79.453506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38671650--1.38672528) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38671650--1.38672528) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76742183-0.76746976) × cos(-1.38671650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183041984180044 × 6371000     		do = 55.8940718644802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76742183-0.76746976) × cos(-1.38672528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183033352510235 × 6371000     		du = 55.8914360802653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38671650)-sin(-1.38672528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183041984180044-0.183033352510235)×R²
    abs(0.76746976-0.76742183)×8.63166980816232e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.63166980816232e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.63166980816232e-06×40589641000000     		ar = 3126.49421837384m²