Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81541 / 115011
↖ ↑ ↗
← S 79.336744°
E 43.959046°		 ← 56.51 m → S 79.336744°
E 43.961792°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.337252°
E 43.959046°		 ← 56.51 m →
3 194 m²		 S 79.337252°
E 43.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622112274169922 y=0.877468109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622112274169922 × 217)
    floor (0.622112274169922 × 131072)
    floor (81541.5)     		tx = 81541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877468109130859 × 217)
    floor (0.877468109130859 × 131072)
    floor (115011.5)     		ty = 115011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81541 / 115011 ti = "17/81541/115011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81541/115011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81541 ÷ 217
    81541 ÷ 131072     		x = 0.622108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115011 ÷ 217
    115011 ÷ 131072     		y = 0.877464294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622108459472656 × 2 - 1) × π
    0.244216918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76723008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877464294433594 × 2 - 1) × π
    -0.754928588867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.37167810870228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76723008} λ = 0.76723008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37167810870228))-π/2
    2×atan(0.0933239870073452)-π/2
    2×0.0930544631041947-π/2
    0.186108926208389-1.57079632675     		φ = -1.38468740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76723008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.959046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38468740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.336744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81541 KachelY 115011 0.76723008 -1.38468740 43.959046 -79.336744
    Oben rechts KachelX + 1 81542 KachelY 115011 0.76727802 -1.38468740 43.961792 -79.336744
    Unten links KachelX 81541 KachelY + 1 115012 0.76723008 -1.38469627 43.959046 -79.337252
    Unten rechts KachelX + 1 81542 KachelY + 1 115012 0.76727802 -1.38469627 43.961792 -79.337252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38468740--1.38469627) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38468740--1.38469627) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76723008-0.76727802) × cos(-1.38468740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185036424549412 × 6371000     		do = 56.5148868949212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76723008-0.76727802) × cos(-1.38469627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185027707712282 × 6371000     		du = 56.5122245484902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38468740)-sin(-1.38469627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185036424549412-0.185027707712282)×R²
    abs(0.76727802-0.76723008)×8.71683713035698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71683713035698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71683713035698e-06×40589641000000     		ar = 3193.62454928184m²