Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81539 / 115233
↖ ↑ ↗
← S 79.448980°
E 43.953552°		 ← 55.93 m → S 79.448980°
E 43.956299°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.449483°
E 43.953552°		 ← 55.92 m →
3 128 m²		 S 79.449483°
E 43.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622097015380859 y=0.879161834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622097015380859 × 217)
    floor (0.622097015380859 × 131072)
    floor (81539.5)     		tx = 81539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879161834716797 × 217)
    floor (0.879161834716797 × 131072)
    floor (115233.5)     		ty = 115233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81539 / 115233 ti = "17/81539/115233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81539/115233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81539 ÷ 217
    81539 ÷ 131072     		x = 0.622093200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115233 ÷ 217
    115233 ÷ 131072     		y = 0.879158020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622093200683594 × 2 - 1) × π
    0.244186401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76713420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879158020019531 × 2 - 1) × π
    -0.758316040039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.38232010041793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76713420} λ = 0.76713420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38232010041793))-π/2
    2×atan(0.0923360997779288)-π/2
    2×0.0920750162536094-π/2
    0.184150032507219-1.57079632675     		φ = -1.38664629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76713420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.953552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38664629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81539 KachelY 115233 0.76713420 -1.38664629 43.953552 -79.448980
    Oben rechts KachelX + 1 81540 KachelY 115233 0.76718214 -1.38664629 43.956299 -79.448980
    Unten links KachelX 81539 KachelY + 1 115234 0.76713420 -1.38665507 43.953552 -79.449483
    Unten rechts KachelX + 1 81540 KachelY + 1 115234 0.76718214 -1.38665507 43.956299 -79.449483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38664629--1.38665507) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38664629--1.38665507) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76713420-0.76718214) × cos(-1.38664629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183111007537709 × 6371000     		do = 55.9268149793138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76713420-0.76718214) × cos(-1.38665507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183102375980755 × 6371000     		du = 55.9241786796437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38664629)-sin(-1.38665507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183111007537709-0.183102375980755)×R²
    abs(0.76718214-0.76713420)×8.63155695424167e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63155695424167e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63155695424167e-06×40589641000000     		ar = 3128.32576777341m²