Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81534 / 115232
↖ ↑ ↗
← S 79.448478°
E 43.939819°		 ← 55.93 m → S 79.448478°
E 43.942566°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.448980°
E 43.939819°		 ← 55.93 m →
3 125 m²		 S 79.448980°
E 43.942566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622058868408203 y=0.879154205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622058868408203 × 217)
    floor (0.622058868408203 × 131072)
    floor (81534.5)     		tx = 81534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879154205322266 × 217)
    floor (0.879154205322266 × 131072)
    floor (115232.5)     		ty = 115232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81534 / 115232 ti = "17/81534/115232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81534/115232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81534 ÷ 217
    81534 ÷ 131072     		x = 0.622055053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115232 ÷ 217
    115232 ÷ 131072     		y = 0.879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622055053710938 × 2 - 1) × π
    0.244110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76689452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76689452} λ = 0.76689452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38227216351831))-π/2
    2×atan(0.0923405261903686)-π/2
    2×0.09207940524392-π/2
    0.18415881048784-1.57079632675     		φ = -1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76689452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.939819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81534 KachelY 115232 0.76689452 -1.38663752 43.939819 -79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 81535 KachelY 115232 0.76694246 -1.38663752 43.942566 -79.448478
    Unten links KachelX 81534 KachelY + 1 115233 0.76689452 -1.38664629 43.939819 -79.448980
    Unten rechts KachelX + 1 81535 KachelY + 1 115233 0.76694246 -1.38664629 43.942566 -79.448980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38663752--1.38664629) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38663752--1.38664629) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76689452-0.76694246) × cos(-1.38663752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 55.9294482720608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76689452-0.76694246) × cos(-1.38664629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183111007537709 × 6371000     		du = 55.9268149793138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38663752)-sin(-1.38664629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.183111007537709)×R²
    abs(0.76694246-0.76689452)×8.62171193219408e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62171193219408e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62171193219408e-06×40589641000000     		ar = 3124.9099702458m²