Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81532 / 115021
↖ ↑ ↗
← S 79.341825°
E 43.934326°		 ← 56.48 m → S 79.341825°
E 43.937073°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.342333°
E 43.934326°		 ← 56.47 m →
3 191 m²		 S 79.342333°
E 43.937073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622043609619141 y=0.877544403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622043609619141 × 217)
    floor (0.622043609619141 × 131072)
    floor (81532.5)     		tx = 81532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877544403076172 × 217)
    floor (0.877544403076172 × 131072)
    floor (115021.5)     		ty = 115021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81532 / 115021 ti = "17/81532/115021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81532/115021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81532 ÷ 217
    81532 ÷ 131072     		x = 0.622039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115021 ÷ 217
    115021 ÷ 131072     		y = 0.877540588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622039794921875 × 2 - 1) × π
    0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877540588378906 × 2 - 1) × π
    -0.755081176757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.37215747769848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76679865} λ = 0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37215747769848))-π/2
    2×atan(0.0932792611023346)-π/2
    2×0.0930101231867327-π/2
    0.186020246373465-1.57079632675     		φ = -1.38477608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38477608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.341825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81532 KachelY 115021 0.76679865 -1.38477608 43.934326 -79.341825
    Oben rechts KachelX + 1 81533 KachelY 115021 0.76684658 -1.38477608 43.937073 -79.341825
    Unten links KachelX 81532 KachelY + 1 115022 0.76679865 -1.38478495 43.934326 -79.342333
    Unten rechts KachelX + 1 81533 KachelY + 1 115022 0.76684658 -1.38478495 43.937073 -79.342333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38477608--1.38478495) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38477608--1.38478495) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76679865-0.76684658) × cos(-1.38477608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184949275178069 × 6371000     		do = 56.4764861154384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76679865-0.76684658) × cos(-1.38478495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		du = 56.4738242799237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38477608)-sin(-1.38478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184949275178069-0.184940558195428)×R²
    abs(0.76684658-0.76679865)×8.7169826407385e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7169826407385e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7169826407385e-06×40589641000000     		ar = 3191.4545061566m²