Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81529 / 114982
↖ ↑ ↗
← S 79.321995°
E 43.926087°		 ← 56.58 m → S 79.321995°
E 43.928833°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.322504°
E 43.926087°		 ← 56.58 m →
3 201 m²		 S 79.322504°
E 43.928833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622020721435547 y=0.877246856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622020721435547 × 217)
    floor (0.622020721435547 × 131072)
    floor (81529.5)     		tx = 81529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877246856689453 × 217)
    floor (0.877246856689453 × 131072)
    floor (114982.5)     		ty = 114982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81529 / 114982 ti = "17/81529/114982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81529/114982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81529 ÷ 217
    81529 ÷ 131072     		x = 0.622016906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114982 ÷ 217
    114982 ÷ 131072     		y = 0.877243041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622016906738281 × 2 - 1) × π
    0.244033813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76665484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877243041992188 × 2 - 1) × π
    -0.754486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3702879386133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76665484} λ = 0.76665484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3702879386133))-π/2
    2×atan(0.0934538134421723)-π/2
    2×0.0931831670491054-π/2
    0.186366334098211-1.57079632675     		φ = -1.38442999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76665484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.926087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38442999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.321995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81529 KachelY 114982 0.76665484 -1.38442999 43.926087 -79.321995
    Oben rechts KachelX + 1 81530 KachelY 114982 0.76670277 -1.38442999 43.928833 -79.321995
    Unten links KachelX 81529 KachelY + 1 114983 0.76665484 -1.38443887 43.926087 -79.322504
    Unten rechts KachelX + 1 81530 KachelY + 1 114983 0.76670277 -1.38443887 43.928833 -79.322504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38442999--1.38443887) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38442999--1.38443887) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76665484-0.76670277) × cos(-1.38442999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18528938337376 × 6371000     		do = 56.5803422444941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76665484-0.76670277) × cos(-1.38443887) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185280657132532 × 6371000     		du = 56.5776775817585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38442999)-sin(-1.38443887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18528938337376-0.185280657132532)×R²
    abs(0.76670277-0.76665484)×8.72624122780219e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72624122780219e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72624122780219e-06×40589641000000     		ar = 3200.92806486043m²