Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81526 / 20027
↖ ↑ ↗
← N 77.121093°
E 43.917846°		 ← 68.08 m → N 77.121093°
E 43.920593°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.120481°
E 43.917846°		 ← 68.08 m →
4 637 m²		 N 77.120481°
E 43.920593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621997833251953 y=0.152797698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621997833251953 × 217)
    floor (0.621997833251953 × 131072)
    floor (81526.5)     		tx = 81526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152797698974609 × 217)
    floor (0.152797698974609 × 131072)
    floor (20027.5)     		ty = 20027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81526 / 20027 ti = "17/81526/20027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81526/20027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81526 ÷ 217
    81526 ÷ 131072     		x = 0.621994018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20027 ÷ 217
    20027 ÷ 131072     		y = 0.152793884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621994018554688 × 2 - 1) × π
    0.243988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76651102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152793884277344 × 2 - 1) × π
    0.694412231445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18156036480914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76651102} λ = 0.76651102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18156036480914))-π/2
    2×atan(8.86012049852181)-π/2
    2×1.45840666218871-π/2
    2.91681332437742-1.57079632675     		φ = 1.34601700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76651102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.917846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34601700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.121093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81526 KachelY 20027 0.76651102 1.34601700 43.917846 77.121093
    Oben rechts KachelX + 1 81527 KachelY 20027 0.76655896 1.34601700 43.920593 77.121093
    Unten links KachelX 81526 KachelY + 1 20028 0.76651102 1.34600631 43.917846 77.120481
    Unten rechts KachelX + 1 81527 KachelY + 1 20028 0.76655896 1.34600631 43.920593 77.120481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34601700-1.34600631) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34601700-1.34600631) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76651102-0.76655896) × cos(1.34601700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222891245761301 × 6371000     		do = 68.0767236761225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76651102-0.76655896) × cos(1.34600631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222901666823623 × 6371000     		du = 68.0799065367939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34601700)-sin(1.34600631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222891245761301-0.222901666823623)×R²
    abs(0.76655896-0.76651102)×1.04210623222967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04210623222967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04210623222967e-05×40589641000000     		ar = 4636.54104795019m²