Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81525 / 114849
↖ ↑ ↗
← S 79.254098°
E 43.915100°		 ← 56.94 m → S 79.254098°
E 43.917846°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.254610°
E 43.915100°		 ← 56.93 m →
3 243 m²		 S 79.254610°
E 43.917846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621990203857422 y=0.876232147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621990203857422 × 217)
    floor (0.621990203857422 × 131072)
    floor (81525.5)     		tx = 81525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876232147216797 × 217)
    floor (0.876232147216797 × 131072)
    floor (114849.5)     		ty = 114849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81525 / 114849 ti = "17/81525/114849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81525/114849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81525 ÷ 217
    81525 ÷ 131072     		x = 0.621986389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114849 ÷ 217
    114849 ÷ 131072     		y = 0.876228332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621986389160156 × 2 - 1) × π
    0.243972778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76646309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876228332519531 × 2 - 1) × π
    -0.752456665039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36391233096383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76646309} λ = 0.76646309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36391233096383))-π/2
    2×atan(0.0940515417057488)-π/2
    2×0.093775687300656-π/2
    0.187551374601312-1.57079632675     		φ = -1.38324495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76646309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.915100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38324495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.254098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81525 KachelY 114849 0.76646309 -1.38324495 43.915100 -79.254098
    Oben rechts KachelX + 1 81526 KachelY 114849 0.76651102 -1.38324495 43.917846 -79.254098
    Unten links KachelX 81525 KachelY + 1 114850 0.76646309 -1.38325389 43.915100 -79.254610
    Unten rechts KachelX + 1 81526 KachelY + 1 114850 0.76651102 -1.38325389 43.917846 -79.254610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38324495--1.38325389) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38324495--1.38325389) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76646309-0.76651102) × cos(-1.38324495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186453772846134 × 6371000     		do = 56.9359025774891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76646309-0.76651102) × cos(-1.38325389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186444989612892 × 6371000     		du = 56.9332205115564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38324495)-sin(-1.38325389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186453772846134-0.186444989612892)×R²
    abs(0.76651102-0.76646309)×8.78323324188246e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.78323324188246e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.78323324188246e-06×40589641000000     		ar = 3242.80701884986m²