Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81522 / 114983
↖ ↑ ↗
← S 79.322504°
E 43.906861°		 ← 56.58 m → S 79.322504°
E 43.909607°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.323014°
E 43.906861°		 ← 56.58 m →
3 204 m²		 S 79.323014°
E 43.909607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621967315673828 y=0.877254486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621967315673828 × 217)
    floor (0.621967315673828 × 131072)
    floor (81522.5)     		tx = 81522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877254486083984 × 217)
    floor (0.877254486083984 × 131072)
    floor (114983.5)     		ty = 114983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81522 / 114983 ti = "17/81522/114983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81522/114983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81522 ÷ 217
    81522 ÷ 131072     		x = 0.621963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114983 ÷ 217
    114983 ÷ 131072     		y = 0.877250671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621963500976562 × 2 - 1) × π
    0.243927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76631928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.754501342773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.37033587551292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76631928} λ = 0.76631928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37033587551292))-π/2
    2×atan(0.0934493336634724)-π/2
    2×0.0931787260544847-π/2
    0.186357452108969-1.57079632675     		φ = -1.38443887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76631928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.906861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38443887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.322504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81522 KachelY 114983 0.76631928 -1.38443887 43.906861 -79.322504
    Oben rechts KachelX + 1 81523 KachelY 114983 0.76636721 -1.38443887 43.909607 -79.322504
    Unten links KachelX 81522 KachelY + 1 114984 0.76631928 -1.38444776 43.906861 -79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 81523 KachelY + 1 114984 0.76636721 -1.38444776 43.909607 -79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38443887--1.38444776) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38443887--1.38444776) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76631928-0.76636721) × cos(-1.38443887) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185280657132532 × 6371000     		do = 56.5776775816274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76631928-0.76636721) × cos(-1.38444776) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 56.5750099136766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38443887)-sin(-1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185280657132532-0.185271921049821)×R²
    abs(0.76636721-0.76631928)×8.73608271087511e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.73608271087511e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.73608271087511e-06×40589641000000     		ar = 3204.38170660352m²