Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81521 / 114897
↖ ↑ ↗
← S 79.278651°
E 43.904114°		 ← 56.82 m → S 79.278651°
E 43.906861°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.279162°
E 43.904114°		 ← 56.82 m →
3 229 m²		 S 79.279162°
E 43.906861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621959686279297 y=0.876598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621959686279297 × 217)
    floor (0.621959686279297 × 131072)
    floor (81521.5)     		tx = 81521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876598358154297 × 217)
    floor (0.876598358154297 × 131072)
    floor (114897.5)     		ty = 114897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81521 / 114897 ti = "17/81521/114897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81521/114897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81521 ÷ 217
    81521 ÷ 131072     		x = 0.621955871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114897 ÷ 217
    114897 ÷ 131072     		y = 0.876594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621955871582031 × 2 - 1) × π
    0.243911743164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.76627134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876594543457031 × 2 - 1) × π
    -0.753189086914062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36621330214559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76627134} λ = 0.76627134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36621330214559))-π/2
    2×atan(0.0938353806042876)-π/2
    2×0.0935614172136321-π/2
    0.187122834427264-1.57079632675     		φ = -1.38367349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76627134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.904114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38367349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.278651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81521 KachelY 114897 0.76627134 -1.38367349 43.904114 -79.278651
    Oben rechts KachelX + 1 81522 KachelY 114897 0.76631928 -1.38367349 43.906861 -79.278651
    Unten links KachelX 81521 KachelY + 1 114898 0.76627134 -1.38368241 43.904114 -79.279162
    Unten rechts KachelX + 1 81522 KachelY + 1 114898 0.76631928 -1.38368241 43.906861 -79.279162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38367349--1.38368241) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38367349--1.38368241) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76627134-0.76631928) × cos(-1.38367349) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186032730729229 × 6371000     		do = 56.8191844472898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76627134-0.76631928) × cos(-1.38368241) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186023966433383 × 6371000     		du = 56.8165076057454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38367349)-sin(-1.38368241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186032730729229-0.186023966433383)×R²
    abs(0.76631928-0.76627134)×8.76429584617533e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.76429584617533e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.76429584617533e-06×40589641000000     		ar = 3228.91955352924m²