Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81520 / 114853
↖ ↑ ↗
← S 79.256146°
E 43.901367°		 ← 56.94 m → S 79.256146°
E 43.904114°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.256658°
E 43.901367°		 ← 56.93 m →
3 243 m²		 S 79.256658°
E 43.904114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621952056884766 y=0.876262664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621952056884766 × 217)
    floor (0.621952056884766 × 131072)
    floor (81520.5)     		tx = 81520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876262664794922 × 217)
    floor (0.876262664794922 × 131072)
    floor (114853.5)     		ty = 114853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81520 / 114853 ti = "17/81520/114853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81520/114853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81520 ÷ 217
    81520 ÷ 131072     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114853 ÷ 217
    114853 ÷ 131072     		y = 0.876258850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876258850097656 × 2 - 1) × π
    -0.752517700195312 × 3.1415926535     		Φ = -2.36410407856231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36410407856231))-π/2
    2×atan(0.094033509277386)-π/2
    2×0.0937578129529639-π/2
    0.187515625905928-1.57079632675     		φ = -1.38328070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38328070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.256146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81520 KachelY 114853 0.76622340 -1.38328070 43.901367 -79.256146
    Oben rechts KachelX + 1 81521 KachelY 114853 0.76627134 -1.38328070 43.904114 -79.256146
    Unten links KachelX 81520 KachelY + 1 114854 0.76622340 -1.38328964 43.901367 -79.256658
    Unten rechts KachelX + 1 81521 KachelY + 1 114854 0.76627134 -1.38328964 43.904114 -79.256658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38328070--1.38328964) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38328070--1.38328964) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76627134) × cos(-1.38328070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186418649648465 × 6371000     		do = 56.9370540186458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76627134) × cos(-1.38328964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186409866355638 × 6371000     		du = 56.9343713749347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38328070)-sin(-1.38328964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186418649648465-0.186409866355638)×R²
    abs(0.76627134-0.76622340)×8.78329282644197e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78329282644197e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78329282644197e-06×40589641000000     		ar = 3242.8725848295m²