Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81519 / 114855
↖ ↑ ↗
← S 79.257170°
E 43.898621°		 ← 56.92 m → S 79.257170°
E 43.901367°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.257682°
E 43.898621°		 ← 56.92 m →
3 242 m²		 S 79.257682°
E 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621944427490234 y=0.876277923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621944427490234 × 217)
    floor (0.621944427490234 × 131072)
    floor (81519.5)     		tx = 81519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876277923583984 × 217)
    floor (0.876277923583984 × 131072)
    floor (114855.5)     		ty = 114855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81519 / 114855 ti = "17/81519/114855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81519/114855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81519 ÷ 217
    81519 ÷ 131072     		x = 0.621940612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114855 ÷ 217
    114855 ÷ 131072     		y = 0.876274108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621940612792969 × 2 - 1) × π
    0.243881225585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76617547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876274108886719 × 2 - 1) × π
    -0.752548217773438 × 3.1415926535     		Φ = -2.36419995236155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76617547} λ = 0.76617547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36419995236155))-π/2
    2×atan(0.0940244943597498)-π/2
    2×0.0937488770417683-π/2
    0.187497754083537-1.57079632675     		φ = -1.38329857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76617547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.898621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38329857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.257170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81519 KachelY 114855 0.76617547 -1.38329857 43.898621 -79.257170
    Oben rechts KachelX + 1 81520 KachelY 114855 0.76622340 -1.38329857 43.901367 -79.257170
    Unten links KachelX 81519 KachelY + 1 114856 0.76617547 -1.38330751 43.898621 -79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 81520 KachelY + 1 114856 0.76622340 -1.38330751 43.901367 -79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38329857--1.38330751) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38329857--1.38330751) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76617547-0.76622340) × cos(-1.38329857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186401092872651 × 6371000     		do = 56.9198161138461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76617547-0.76622340) × cos(-1.38330751) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 56.9171340206249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38329857)-sin(-1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186401092872651-0.186392309550045)×R²
    abs(0.76622340-0.76617547)×8.78332260614845e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.78332260614845e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.78332260614845e-06×40589641000000     		ar = 3241.89078572217m²