Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81517 / 20003
↖ ↑ ↗
← N 77.135778°
E 43.893127°		 ← 68 m → N 77.135778°
E 43.895874°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.135166°
E 43.893127°		 ← 68 m →
4 627 m²		 N 77.135166°
E 43.895874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621929168701172 y=0.152614593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621929168701172 × 217)
    floor (0.621929168701172 × 131072)
    floor (81517.5)     		tx = 81517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152614593505859 × 217)
    floor (0.152614593505859 × 131072)
    floor (20003.5)     		ty = 20003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81517 / 20003 ti = "17/81517/20003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81517/20003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81517 ÷ 217
    81517 ÷ 131072     		x = 0.621925354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20003 ÷ 217
    20003 ÷ 131072     		y = 0.152610778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621925354003906 × 2 - 1) × π
    0.243850708007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.76607959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152610778808594 × 2 - 1) × π
    0.694778442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.18271085040002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76607959} λ = 0.76607959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18271085040002))-π/2
    2×atan(8.87031980544166)-π/2
    2×1.4585348068986-π/2
    2.91706961379721-1.57079632675     		φ = 1.34627329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76607959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.893127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34627329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.135778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81517 KachelY 20003 0.76607959 1.34627329 43.893127 77.135778
    Oben rechts KachelX + 1 81518 KachelY 20003 0.76612753 1.34627329 43.895874 77.135778
    Unten links KachelX 81517 KachelY + 1 20004 0.76607959 1.34626261 43.893127 77.135166
    Unten rechts KachelX + 1 81518 KachelY + 1 20004 0.76612753 1.34626261 43.895874 77.135166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34627329-1.34626261) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dl = 68.0422800009663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34627329-1.34626261) × R
    1.06800000001517e-05 × 6371000     		dr = 68.0422800009663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76607959-0.76612753) × cos(1.34627329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222641395850083 × 6371000     		do = 68.0004130820999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76607959-0.76612753) × cos(1.34626261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222651807773761 × 6371000     		du = 68.0035931515941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34627329)-sin(1.34626261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222641395850083-0.222651807773761)×R²
    abs(0.76612753-0.76607959)×1.04119236781497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04119236781497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04119236781497e-05×40589641000000     		ar = 4627.0113366095m²