Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81516 / 20004
↖ ↑ ↗
← N 77.135166°
E 43.890381°		 ← 67.99 m → N 77.135166°
E 43.893127°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.134554°
E 43.890381°		 ← 67.99 m →
4 622 m²		 N 77.134554°
E 43.893127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621921539306641 y=0.152622222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621921539306641 × 217)
    floor (0.621921539306641 × 131072)
    floor (81516.5)     		tx = 81516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152622222900391 × 217)
    floor (0.152622222900391 × 131072)
    floor (20004.5)     		ty = 20004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81516 / 20004 ti = "17/81516/20004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81516/20004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81516 ÷ 217
    81516 ÷ 131072     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20004 ÷ 217
    20004 ÷ 131072     		y = 0.152618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152618408203125 × 2 - 1) × π
    0.69476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1826629135004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1826629135004))-π/2
    2×atan(8.86989460000315)-π/2
    2×1.45852947040472-π/2
    2.91705894080943-1.57079632675     		φ = 1.34626261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34626261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.135166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81516 KachelY 20004 0.76603166 1.34626261 43.890381 77.135166
    Oben rechts KachelX + 1 81517 KachelY 20004 0.76607959 1.34626261 43.893127 77.135166
    Unten links KachelX 81516 KachelY + 1 20005 0.76603166 1.34625194 43.890381 77.134554
    Unten rechts KachelX + 1 81517 KachelY + 1 20005 0.76607959 1.34625194 43.893127 77.134554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34626261-1.34625194) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34626261-1.34625194) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(1.34626261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222651807773761 × 6371000     		do = 67.989408005007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(1.34625194) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222662209923086 × 6371000     		du = 67.9925844264414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34626261)-sin(1.34625194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222651807773761-0.222662209923086)×R²
    abs(0.76607959-0.76603166)×1.04021493252393e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04021493252393e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04021493252393e-05×40589641000000     		ar = 4621.93069579042m²