Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81516 / 114978
↖ ↑ ↗
← S 79.319960°
E 43.890381°		 ← 56.59 m → S 79.319960°
E 43.893127°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.320469°
E 43.890381°		 ← 56.59 m →
3 202 m²		 S 79.320469°
E 43.893127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621921539306641 y=0.877216339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621921539306641 × 217)
    floor (0.621921539306641 × 131072)
    floor (81516.5)     		tx = 81516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877216339111328 × 217)
    floor (0.877216339111328 × 131072)
    floor (114978.5)     		ty = 114978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81516 / 114978 ti = "17/81516/114978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81516/114978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81516 ÷ 217
    81516 ÷ 131072     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114978 ÷ 217
    114978 ÷ 131072     		y = 0.877212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877212524414062 × 2 - 1) × π
    -0.754425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37009619101482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37009619101482))-π/2
    2×atan(0.0934717347045933)-π/2
    2×0.0932009331197443-π/2
    0.186401866239489-1.57079632675     		φ = -1.38439446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38439446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.319960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81516 KachelY 114978 0.76603166 -1.38439446 43.890381 -79.319960
    Oben rechts KachelX + 1 81517 KachelY 114978 0.76607959 -1.38439446 43.893127 -79.319960
    Unten links KachelX 81516 KachelY + 1 114979 0.76603166 -1.38440334 43.890381 -79.320469
    Unten rechts KachelX + 1 81517 KachelY + 1 114979 0.76607959 -1.38440334 43.893127 -79.320469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38439446--1.38440334) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38439446--1.38440334) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(-1.38439446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185324298019329 × 6371000     		do = 56.591003851542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(-1.38440334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185315571836566 × 6371000     		du = 56.5883392066592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38439446)-sin(-1.38440334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185324298019329-0.185315571836566)×R²
    abs(0.76607959-0.76603166)×8.72618276367976e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72618276367976e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72618276367976e-06×40589641000000     		ar = 3201.53124026524m²