Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81516 / 114860
↖ ↑ ↗
← S 79.259729°
E 43.890381°		 ← 56.91 m → S 79.259729°
E 43.893127°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.260241°
E 43.890381°		 ← 56.90 m →
3 241 m²		 S 79.260241°
E 43.893127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621921539306641 y=0.876316070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621921539306641 × 217)
    floor (0.621921539306641 × 131072)
    floor (81516.5)     		tx = 81516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876316070556641 × 217)
    floor (0.876316070556641 × 131072)
    floor (114860.5)     		ty = 114860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81516 / 114860 ti = "17/81516/114860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81516/114860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81516 ÷ 217
    81516 ÷ 131072     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114860 ÷ 217
    114860 ÷ 131072     		y = 0.876312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.75262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36443963685965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36443963685965))-π/2
    2×atan(0.0940019608465848)-π/2
    2×0.0937265409458964-π/2
    0.187453081891793-1.57079632675     		φ = -1.38334324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38334324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.259729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81516 KachelY 114860 0.76603166 -1.38334324 43.890381 -79.259729
    Oben rechts KachelX + 1 81517 KachelY 114860 0.76607959 -1.38334324 43.893127 -79.259729
    Unten links KachelX 81516 KachelY + 1 114861 0.76603166 -1.38335218 43.890381 -79.260241
    Unten rechts KachelX + 1 81517 KachelY + 1 114861 0.76607959 -1.38335218 43.893127 -79.260241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38334324--1.38335218) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38334324--1.38335218) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(-1.38334324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186357205585118 × 6371000     		do = 56.9064146026338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76607959) × cos(-1.38335218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186348422188083 × 6371000     		du = 56.903732486685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38334324)-sin(-1.38335218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186357205585118-0.186348422188083)×R²
    abs(0.76607959-0.76603166)×8.7833970346396e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7833970346396e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7833970346396e-06×40589641000000     		ar = 3241.12747864115m²