Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81515 / 115066
↖ ↑ ↗
← S 79.364660°
E 43.887634°		 ← 56.37 m → S 79.364660°
E 43.890381°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.365167°
E 43.887634°		 ← 56.37 m →
3 178 m²		 S 79.365167°
E 43.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621913909912109 y=0.877887725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621913909912109 × 217)
    floor (0.621913909912109 × 131072)
    floor (81515.5)     		tx = 81515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877887725830078 × 217)
    floor (0.877887725830078 × 131072)
    floor (115066.5)     		ty = 115066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81515 / 115066 ti = "17/81515/115066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81515/115066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81515 ÷ 217
    81515 ÷ 131072     		x = 0.621910095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115066 ÷ 217
    115066 ÷ 131072     		y = 0.877883911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621910095214844 × 2 - 1) × π
    0.243820190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.76598372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877883911132812 × 2 - 1) × π
    -0.755767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37431463818138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76598372} λ = 0.76598372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37431463818138))-π/2
    2×atan(0.0930782596405595)-π/2
    2×0.0928108518553761-π/2
    0.185621703710752-1.57079632675     		φ = -1.38517462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76598372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.887634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38517462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.364660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81515 KachelY 115066 0.76598372 -1.38517462 43.887634 -79.364660
    Oben rechts KachelX + 1 81516 KachelY 115066 0.76603166 -1.38517462 43.890381 -79.364660
    Unten links KachelX 81515 KachelY + 1 115067 0.76598372 -1.38518347 43.887634 -79.365167
    Unten rechts KachelX + 1 81516 KachelY + 1 115067 0.76603166 -1.38518347 43.890381 -79.365167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38517462--1.38518347) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dl = 56.3833500010908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38517462--1.38518347) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dr = 56.3833500010908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76598372-0.76603166) × cos(-1.38517462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184557596085196 × 6371000     		do = 56.3686403569052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76598372-0.76603166) × cos(-1.38518347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184548898105925 × 6371000     		du = 56.3659837701498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38517462)-sin(-1.38518347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184557596085196-0.184548898105925)×R²
    abs(0.76603166-0.76598372)×8.69797927138816e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69797927138816e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69797927138816e-06×40589641000000     		ar = 3178.17788467218m²