Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81514 / 20060
↖ ↑ ↗
← N 77.100875°
E 43.884888°		 ← 68.18 m → N 77.100875°
E 43.887634°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.100262°
E 43.884888°		 ← 68.18 m →
4 648 m²		 N 77.100262°
E 43.887634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621906280517578 y=0.153049468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621906280517578 × 217)
    floor (0.621906280517578 × 131072)
    floor (81514.5)     		tx = 81514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153049468994141 × 217)
    floor (0.153049468994141 × 131072)
    floor (20060.5)     		ty = 20060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81514 / 20060 ti = "17/81514/20060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81514/20060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81514 ÷ 217
    81514 ÷ 131072     		x = 0.621902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20060 ÷ 217
    20060 ÷ 131072     		y = 0.153045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621902465820312 × 2 - 1) × π
    0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153045654296875 × 2 - 1) × π
    0.69390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17997844712167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76593578} λ = 0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17997844712167))-π/2
    2×atan(8.84611559741311)-π/2
    2×1.45823022838222-π/2
    2.91646045676445-1.57079632675     		φ = 1.34566413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34566413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.100875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81514 KachelY 20060 0.76593578 1.34566413 43.884888 77.100875
    Oben rechts KachelX + 1 81515 KachelY 20060 0.76598372 1.34566413 43.887634 77.100875
    Unten links KachelX 81514 KachelY + 1 20061 0.76593578 1.34565343 43.884888 77.100262
    Unten rechts KachelX + 1 81515 KachelY + 1 20061 0.76598372 1.34565343 43.887634 77.100262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34566413-1.34565343) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34566413-1.34565343) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76593578-0.76598372) × cos(1.34566413) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223235224838506 × 6371000     		do = 68.1817837404803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76593578-0.76598372) × cos(1.34565343) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223245654806996 × 6371000     		du = 68.1849693213245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34566413)-sin(1.34565343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223235224838506-0.223245654806996)×R²
    abs(0.76598372-0.76593578)×1.04299684900167e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04299684900167e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04299684900167e-05×40589641000000     		ar = 4648.04032304789m²