Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81514 / 115070
↖ ↑ ↗
← S 79.366687°
E 43.884888°		 ← 56.36 m → S 79.366687°
E 43.887634°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.367194°
E 43.884888°		 ← 56.36 m →
3 174 m²		 S 79.367194°
E 43.887634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621906280517578 y=0.877918243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621906280517578 × 217)
    floor (0.621906280517578 × 131072)
    floor (81514.5)     		tx = 81514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877918243408203 × 217)
    floor (0.877918243408203 × 131072)
    floor (115070.5)     		ty = 115070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81514 / 115070 ti = "17/81514/115070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81514/115070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81514 ÷ 217
    81514 ÷ 131072     		x = 0.621902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115070 ÷ 217
    115070 ÷ 131072     		y = 0.877914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621902465820312 × 2 - 1) × π
    0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.755828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37450638577986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76593578} λ = 0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37450638577986))-π/2
    2×atan(0.0930604138188041)-π/2
    2×0.0927931592849226-π/2
    0.185586318569845-1.57079632675     		φ = -1.38521001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38521001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.366687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81514 KachelY 115070 0.76593578 -1.38521001 43.884888 -79.366687
    Oben rechts KachelX + 1 81515 KachelY 115070 0.76598372 -1.38521001 43.887634 -79.366687
    Unten links KachelX 81514 KachelY + 1 115071 0.76593578 -1.38521885 43.884888 -79.367194
    Unten rechts KachelX + 1 81515 KachelY + 1 115071 0.76598372 -1.38521885 43.887634 -79.367194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38521001--1.38521885) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38521001--1.38521885) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76593578-0.76598372) × cos(-1.38521001) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18452281390967 × 6371000     		do = 56.358016985337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76593578-0.76598372) × cos(-1.38521885) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184514125700901 × 6371000     		du = 56.3553633827443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38521001)-sin(-1.38521885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18452281390967-0.184514125700901)×R²
    abs(0.76598372-0.76593578)×8.68820876950838e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.68820876950838e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.68820876950838e-06×40589641000000     		ar = 3173.98850261617m²