Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81513 / 20137
↖ ↑ ↗
← N 77.053579°
E 43.882141°		 ← 68.41 m → N 77.053579°
E 43.884888°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.052963°
E 43.882141°		 ← 68.42 m →
4 681 m²		 N 77.052963°
E 43.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621898651123047 y=0.153636932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621898651123047 × 217)
    floor (0.621898651123047 × 131072)
    floor (81513.5)     		tx = 81513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153636932373047 × 217)
    floor (0.153636932373047 × 131072)
    floor (20137.5)     		ty = 20137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81513 / 20137 ti = "17/81513/20137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81513/20137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81513 ÷ 217
    81513 ÷ 131072     		x = 0.621894836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20137 ÷ 217
    20137 ÷ 131072     		y = 0.153633117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621894836425781 × 2 - 1) × π
    0.243789672851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76588785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153633117675781 × 2 - 1) × π
    0.692733764648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17628730585093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76588785} λ = 0.76588785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17628730585093))-π/2
    2×atan(8.81352352302544)-π/2
    2×1.45781748998332-π/2
    2.91563497996664-1.57079632675     		φ = 1.34483865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76588785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.882141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34483865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.053579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81513 KachelY 20137 0.76588785 1.34483865 43.882141 77.053579
    Oben rechts KachelX + 1 81514 KachelY 20137 0.76593578 1.34483865 43.884888 77.053579
    Unten links KachelX 81513 KachelY + 1 20138 0.76588785 1.34482791 43.882141 77.052963
    Unten rechts KachelX + 1 81514 KachelY + 1 20138 0.76593578 1.34482791 43.884888 77.052963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34483865-1.34482791) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34483865-1.34482791) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76588785-0.76593578) × cos(1.34483865) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224039797374772 × 6371000     		do = 68.4132473270325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76588785-0.76593578) × cos(1.34482791) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224050264351011 × 6371000     		du = 68.4164435441448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34483865)-sin(1.34482791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224039797374772-0.224050264351011)×R²
    abs(0.76593578-0.76588785)×1.04669762388543e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04669762388543e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04669762388543e-05×40589641000000     		ar = 4681.2543280842m²