Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81511 / 115127
↖ ↑ ↗
← S 79.395536°
E 43.876648°		 ← 56.21 m → S 79.395536°
E 43.879395°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.396042°
E 43.876648°		 ← 56.20 m →
3 158 m²		 S 79.396042°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621883392333984 y=0.878353118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621883392333984 × 217)
    floor (0.621883392333984 × 131072)
    floor (81511.5)     		tx = 81511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878353118896484 × 217)
    floor (0.878353118896484 × 131072)
    floor (115127.5)     		ty = 115127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81511 / 115127 ti = "17/81511/115127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81511/115127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81511 ÷ 217
    81511 ÷ 131072     		x = 0.621879577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115127 ÷ 217
    115127 ÷ 131072     		y = 0.878349304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621879577636719 × 2 - 1) × π
    0.243759155273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76579197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878349304199219 × 2 - 1) × π
    -0.756698608398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.3772387890582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76579197} λ = 0.76579197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3772387890582))-π/2
    2×atan(0.0928064823186217)-π/2
    2×0.0925414021184781-π/2
    0.185082804236956-1.57079632675     		φ = -1.38571352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76579197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.876648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38571352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.395536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81511 KachelY 115127 0.76579197 -1.38571352 43.876648 -79.395536
    Oben rechts KachelX + 1 81512 KachelY 115127 0.76583991 -1.38571352 43.879395 -79.395536
    Unten links KachelX 81511 KachelY + 1 115128 0.76579197 -1.38572234 43.876648 -79.396042
    Unten rechts KachelX + 1 81512 KachelY + 1 115128 0.76583991 -1.38572234 43.879395 -79.396042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38571352--1.38572234) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dl = 56.1922200008378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38571352--1.38572234) × R
    8.8200000001315e-06 × 6371000     		dr = 56.1922200008378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76579197-0.76583991) × cos(-1.38571352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184027926697793 × 6371000     		do = 56.2068656923024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76579197-0.76583991) × cos(-1.38572234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184019257327281 × 6371000     		du = 56.2042178433983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38571352)-sin(-1.38572234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184027926697793-0.184019257327281)×R²
    abs(0.76583991-0.76579197)×8.66937051241523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66937051241523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66937051241523e-06×40589641000000     		ar = 3158.31416834164m²