Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81510 / 115069
↖ ↑ ↗
← S 79.366180°
E 43.873901°		 ← 56.36 m → S 79.366180°
E 43.876648°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
S 79.366687°
E 43.873901°		 ← 56.36 m →
3 178 m²		 S 79.366687°
E 43.876648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621875762939453 y=0.877910614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621875762939453 × 217)
    floor (0.621875762939453 × 131072)
    floor (81510.5)     		tx = 81510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877910614013672 × 217)
    floor (0.877910614013672 × 131072)
    floor (115069.5)     		ty = 115069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81510 / 115069 ti = "17/81510/115069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81510/115069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81510 ÷ 217
    81510 ÷ 131072     		x = 0.621871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115069 ÷ 217
    115069 ÷ 131072     		y = 0.877906799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621871948242188 × 2 - 1) × π
    0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877906799316406 × 2 - 1) × π
    -0.755813598632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.37445844888024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76574403} λ = 0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37445844888024))-π/2
    2×atan(0.0930648749534456)-π/2
    2×0.0927975821149555-π/2
    0.185595164229911-1.57079632675     		φ = -1.38520116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38520116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.366180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81510 KachelY 115069 0.76574403 -1.38520116 43.873901 -79.366180
    Oben rechts KachelX + 1 81511 KachelY 115069 0.76579197 -1.38520116 43.876648 -79.366180
    Unten links KachelX 81510 KachelY + 1 115070 0.76574403 -1.38521001 43.873901 -79.366687
    Unten rechts KachelX + 1 81511 KachelY + 1 115070 0.76579197 -1.38521001 43.876648 -79.366687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38520116--1.38521001) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38520116--1.38521001) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76574403-0.76579197) × cos(-1.38520116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184531511932286 × 6371000     		do = 56.3606735852004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76574403-0.76579197) × cos(-1.38521001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18452281390967 × 6371000     		du = 56.3580169852064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38520116)-sin(-1.38521001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184531511932286-0.18452281390967)×R²
    abs(0.76579197-0.76574403)×8.69802261577179e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69802261577179e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69802261577179e-06×40589641000000     		ar = 3177.72869111165m²