Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81509 / 115128
↖ ↑ ↗
← S 79.396042°
E 43.871155°		 ← 56.19 m → S 79.396042°
E 43.873901°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
S 79.396548°
E 43.871155°		 ← 56.19 m →
3 161 m²		 S 79.396548°
E 43.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621868133544922 y=0.878360748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621868133544922 × 217)
    floor (0.621868133544922 × 131072)
    floor (81509.5)     		tx = 81509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878360748291016 × 217)
    floor (0.878360748291016 × 131072)
    floor (115128.5)     		ty = 115128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81509 / 115128 ti = "17/81509/115128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81509/115128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81509 ÷ 217
    81509 ÷ 131072     		x = 0.621864318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115128 ÷ 217
    115128 ÷ 131072     		y = 0.87835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621864318847656 × 2 - 1) × π
    0.243728637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76569610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.7567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37728672595782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76569610} λ = 0.76569610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37728672595782))-π/2
    2×atan(0.0928020335702252)-π/2
    2×0.0925369913583281-π/2
    0.185073982716656-1.57079632675     		φ = -1.38572234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76569610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.871155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38572234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.396042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81509 KachelY 115128 0.76569610 -1.38572234 43.871155 -79.396042
    Oben rechts KachelX + 1 81510 KachelY 115128 0.76574403 -1.38572234 43.873901 -79.396042
    Unten links KachelX 81509 KachelY + 1 115129 0.76569610 -1.38573117 43.871155 -79.396548
    Unten rechts KachelX + 1 81510 KachelY + 1 115129 0.76574403 -1.38573117 43.873901 -79.396548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38572234--1.38573117) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dl = 56.2559299990359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38572234--1.38573117) × R
    8.82999999984868e-06 × 6371000     		dr = 56.2559299990359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76569610-0.76574403) × cos(-1.38572234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184019257327281 × 6371000     		do = 56.1924939765852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76569610-0.76574403) × cos(-1.38573117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184010578113211 × 6371000     		du = 56.189843674158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38572234)-sin(-1.38573117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184019257327281-0.184010578113211)×R²
    abs(0.76574403-0.76569610)×8.67921407002314e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.67921407002314e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.67921407002314e-06×40589641000000     		ar = 3161.08646012275m²