Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81507 / 115116
↖ ↑ ↗
← S 79.389975°
E 43.865661°		 ← 56.24 m → S 79.389975°
E 43.868408°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.390481°
E 43.865661°		 ← 56.23 m →
3 160 m²		 S 79.390481°
E 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621852874755859 y=0.878269195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621852874755859 × 217)
    floor (0.621852874755859 × 131072)
    floor (81507.5)     		tx = 81507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878269195556641 × 217)
    floor (0.878269195556641 × 131072)
    floor (115116.5)     		ty = 115116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81507 / 115116 ti = "17/81507/115116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81507/115116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81507 ÷ 217
    81507 ÷ 131072     		x = 0.621849060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115116 ÷ 217
    115116 ÷ 131072     		y = 0.878265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621849060058594 × 2 - 1) × π
    0.243698120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76560022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.75653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37671148316238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76560022} λ = 0.76560022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37671148316238))-π/2
    2×atan(0.092855432628678)-π/2
    2×0.0925899341991141-π/2
    0.185179868398228-1.57079632675     		φ = -1.38561646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76560022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.865661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38561646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.389975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81507 KachelY 115116 0.76560022 -1.38561646 43.865661 -79.389975
    Oben rechts KachelX + 1 81508 KachelY 115116 0.76564816 -1.38561646 43.868408 -79.389975
    Unten links KachelX 81507 KachelY + 1 115117 0.76560022 -1.38562528 43.865661 -79.390481
    Unten rechts KachelX + 1 81508 KachelY + 1 115117 0.76564816 -1.38562528 43.868408 -79.390481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38561646--1.38562528) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38561646--1.38562528) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76560022-0.76564816) × cos(-1.38561646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184123328144551 × 6371000     		do = 56.2360037497756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76560022-0.76564816) × cos(-1.38562528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184114658931617 × 6371000     		du = 56.2333559489999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38561646)-sin(-1.38562528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184123328144551-0.184114658931617)×R²
    abs(0.76564816-0.76560022)×8.66921293440903e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66921293440903e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66921293440903e-06×40589641000000     		ar = 3159.95150164629m²