Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81507 / 115079
↖ ↑ ↗
← S 79.371247°
E 43.865661°		 ← 56.33 m → S 79.371247°
E 43.868408°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.371754°
E 43.865661°		 ← 56.33 m →
3 173 m²		 S 79.371754°
E 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621852874755859 y=0.877986907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621852874755859 × 217)
    floor (0.621852874755859 × 131072)
    floor (81507.5)     		tx = 81507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877986907958984 × 217)
    floor (0.877986907958984 × 131072)
    floor (115079.5)     		ty = 115079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81507 / 115079 ti = "17/81507/115079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81507/115079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81507 ÷ 217
    81507 ÷ 131072     		x = 0.621849060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115079 ÷ 217
    115079 ÷ 131072     		y = 0.877983093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621849060058594 × 2 - 1) × π
    0.243698120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76560022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877983093261719 × 2 - 1) × π
    -0.755966186523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.37493781787644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76560022} λ = 0.76560022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37493781787644))-π/2
    2×atan(0.0930202732289537)-π/2
    2×0.0927533631901911-π/2
    0.185506726380382-1.57079632675     		φ = -1.38528960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76560022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.865661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38528960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.371247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81507 KachelY 115079 0.76560022 -1.38528960 43.865661 -79.371247
    Oben rechts KachelX + 1 81508 KachelY 115079 0.76564816 -1.38528960 43.868408 -79.371247
    Unten links KachelX 81507 KachelY + 1 115080 0.76560022 -1.38529844 43.865661 -79.371754
    Unten rechts KachelX + 1 81508 KachelY + 1 115080 0.76564816 -1.38529844 43.868408 -79.371754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38528960--1.38529844) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38528960--1.38529844) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76560022-0.76564816) × cos(-1.38528960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184444590026432 × 6371000     		do = 56.3341253977827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76560022-0.76564816) × cos(-1.38529844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184435901687867 × 6371000     		du = 56.3314717555472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38528960)-sin(-1.38529844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184444590026432-0.184435901687867)×R²
    abs(0.76564816-0.76560022)×8.68833856465523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68833856465523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68833856465523e-06×40589641000000     		ar = 3172.64293601856m²