Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81506 / 115118
↖ ↑ ↗
← S 79.390986°
E 43.862915°		 ← 56.22 m → S 79.390986°
E 43.865661°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
S 79.391492°
E 43.862915°		 ← 56.22 m →
3 163 m²		 S 79.391492°
E 43.865661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621845245361328 y=0.878284454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621845245361328 × 217)
    floor (0.621845245361328 × 131072)
    floor (81506.5)     		tx = 81506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878284454345703 × 217)
    floor (0.878284454345703 × 131072)
    floor (115118.5)     		ty = 115118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81506 / 115118 ti = "17/81506/115118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81506/115118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81506 ÷ 217
    81506 ÷ 131072     		x = 0.621841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115118 ÷ 217
    115118 ÷ 131072     		y = 0.878280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621841430664062 × 2 - 1) × π
    0.243682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76555229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.756561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37680735696162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76555229} λ = 0.76555229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37680735696162))-π/2
    2×atan(0.0928465306523118)-π/2
    2×0.0925811083133988-π/2
    0.185162216626798-1.57079632675     		φ = -1.38563411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76555229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38563411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.390986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81506 KachelY 115118 0.76555229 -1.38563411 43.862915 -79.390986
    Oben rechts KachelX + 1 81507 KachelY 115118 0.76560022 -1.38563411 43.865661 -79.390986
    Unten links KachelX 81506 KachelY + 1 115119 0.76555229 -1.38564294 43.862915 -79.391492
    Unten rechts KachelX + 1 81507 KachelY + 1 115119 0.76560022 -1.38564294 43.865661 -79.391492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38563411--1.38564294) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dl = 56.2559300004506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38563411--1.38564294) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dr = 56.2559300004506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76555229-0.76560022) × cos(-1.38563411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184105979875296 × 6371000     		do = 56.2189757498939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76555229-0.76560022) × cos(-1.38564294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18409730080462 × 6371000     		du = 56.2163254912538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38563411)-sin(-1.38564294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184105979875296-0.18409730080462)×R²
    abs(0.76560022-0.76555229)×8.67907067580997e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.67907067580997e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.67907067580997e-06×40589641000000     		ar = 3162.57621824898m²