Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81505 / 20073
↖ ↑ ↗
← N 77.092902°
E 43.860168°		 ← 68.22 m → N 77.092902°
E 43.862915°		 →
↑
68.23 m
↓
↑
68.23 m
↓
N 77.092288°
E 43.860168°		 ← 68.23 m →
4 655 m²		 N 77.092288°
E 43.862915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621837615966797 y=0.153148651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621837615966797 × 217)
    floor (0.621837615966797 × 131072)
    floor (81505.5)     		tx = 81505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153148651123047 × 217)
    floor (0.153148651123047 × 131072)
    floor (20073.5)     		ty = 20073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81505 / 20073 ti = "17/81505/20073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81505/20073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81505 ÷ 217
    81505 ÷ 131072     		x = 0.621833801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20073 ÷ 217
    20073 ÷ 131072     		y = 0.153144836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621833801269531 × 2 - 1) × π
    0.243667602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.76550435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153144836425781 × 2 - 1) × π
    0.693710327148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17935526742661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76550435} λ = 0.76550435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17935526742661))-π/2
    2×atan(8.84060459514335)-π/2
    2×1.45816064942192-π/2
    2.91632129884383-1.57079632675     		φ = 1.34552497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76550435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.860168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34552497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.092902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81505 KachelY 20073 0.76550435 1.34552497 43.860168 77.092902
    Oben rechts KachelX + 1 81506 KachelY 20073 0.76555229 1.34552497 43.862915 77.092902
    Unten links KachelX 81505 KachelY + 1 20074 0.76550435 1.34551426 43.860168 77.092288
    Unten rechts KachelX + 1 81506 KachelY + 1 20074 0.76555229 1.34551426 43.862915 77.092288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34552497-1.34551426) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dl = 68.2334099998048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34552497-1.34551426) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dr = 68.2334099998048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76550435-0.76555229) × cos(1.34552497) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223370870918914 × 6371000     		do = 68.223213544967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76550435-0.76555229) × cos(1.34551426) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223381310302206 × 6371000     		du = 68.2264020013343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34552497)-sin(1.34551426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223370870918914-0.223381310302206)×R²
    abs(0.76555229-0.76550435)×1.04393832926486e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04393832926486e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04393832926486e-05×40589641000000     		ar = 4655.21128092962m²