Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81504 / 20128
↖ ↑ ↗
← N 77.059116°
E 43.857422°		 ← 68.40 m → N 77.059116°
E 43.860168°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.058501°
E 43.857422°		 ← 68.40 m →
4 676 m²		 N 77.058501°
E 43.860168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621829986572266 y=0.153568267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621829986572266 × 217)
    floor (0.621829986572266 × 131072)
    floor (81504.5)     		tx = 81504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153568267822266 × 217)
    floor (0.153568267822266 × 131072)
    floor (20128.5)     		ty = 20128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81504 / 20128 ti = "17/81504/20128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81504/20128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81504 ÷ 217
    81504 ÷ 131072     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20128 ÷ 217
    20128 ÷ 131072     		y = 0.153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    0.69287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17671873794751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17671873794751))-π/2
    2×atan(8.81732678032188)-π/2
    2×1.45786580880343-π/2
    2.91573161760686-1.57079632675     		φ = 1.34493529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34493529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81504 KachelY 20128 0.76545641 1.34493529 43.857422 77.059116
    Oben rechts KachelX + 1 81505 KachelY 20128 0.76550435 1.34493529 43.860168 77.059116
    Unten links KachelX 81504 KachelY + 1 20129 0.76545641 1.34492456 43.857422 77.058501
    Unten rechts KachelX + 1 81505 KachelY + 1 20129 0.76550435 1.34492456 43.860168 77.058501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34493529-1.34492456) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dl = 68.360830000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34493529-1.34492456) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dr = 68.360830000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76550435) × cos(1.34493529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22394561291789 × 6371000     		do = 68.3987545451552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76550435) × cos(1.34492456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223956070380627 × 6371000     		du = 68.4019485234502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34493529)-sin(1.34492456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22394561291789-0.223956070380627)×R²
    abs(0.76550435-0.76545641)×1.04574627370346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04574627370346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04574627370346e-05×40589641000000     		ar = 4675.90480329779m²