Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81500 / 20045
↖ ↑ ↗
← N 77.110069°
E 43.846436°		 ← 68.12 m → N 77.110069°
E 43.849182°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.109456°
E 43.846436°		 ← 68.12 m →
4 639 m²		 N 77.109456°
E 43.849182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621799468994141 y=0.152935028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621799468994141 × 217)
    floor (0.621799468994141 × 131072)
    floor (81500.5)     		tx = 81500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152935028076172 × 217)
    floor (0.152935028076172 × 131072)
    floor (20045.5)     		ty = 20045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81500 / 20045 ti = "17/81500/20045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81500/20045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81500 ÷ 217
    81500 ÷ 131072     		x = 0.621795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20045 ÷ 217
    20045 ÷ 131072     		y = 0.152931213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152931213378906 × 2 - 1) × π
    0.694137573242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.18069750061597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76526467} λ = 0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18069750061597))-π/2
    2×atan(8.85247871518128)-π/2
    2×1.4583104592956-π/2
    2.9166209185912-1.57079632675     		φ = 1.34582459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34582459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.110069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81500 KachelY 20045 0.76526467 1.34582459 43.846436 77.110069
    Oben rechts KachelX + 1 81501 KachelY 20045 0.76531260 1.34582459 43.849182 77.110069
    Unten links KachelX 81500 KachelY + 1 20046 0.76526467 1.34581390 43.846436 77.109456
    Unten rechts KachelX + 1 81501 KachelY + 1 20046 0.76531260 1.34581390 43.849182 77.109456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34582459-1.34581390) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34582459-1.34581390) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76526467-0.76531260) × cos(1.34582459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223078811236858 × 6371000     		do = 68.1197986493154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76526467-0.76531260) × cos(1.34581390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22308923184052 × 6371000     		du = 68.1229807060034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34582459)-sin(1.34581390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223078811236858-0.22308923184052)×R²
    abs(0.76531260-0.76526467)×1.0420603661937e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0420603661937e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0420603661937e-05×40589641000000     		ar = 4639.47468418637m²