Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81500 / 115113
↖ ↑ ↗
← S 79.388458°
E 43.846436°		 ← 56.23 m → S 79.388458°
E 43.849182°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
S 79.388963°
E 43.846436°		 ← 56.23 m →
3 160 m²		 S 79.388963°
E 43.849182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621799468994141 y=0.878246307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621799468994141 × 217)
    floor (0.621799468994141 × 131072)
    floor (81500.5)     		tx = 81500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878246307373047 × 217)
    floor (0.878246307373047 × 131072)
    floor (115113.5)     		ty = 115113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81500 / 115113 ti = "17/81500/115113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81500/115113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81500 ÷ 217
    81500 ÷ 131072     		x = 0.621795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115113 ÷ 217
    115113 ÷ 131072     		y = 0.878242492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878242492675781 × 2 - 1) × π
    -0.756484985351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.37656767246352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76526467} λ = 0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37656767246352))-π/2
    2×atan(0.0928687871935789)-π/2
    2×0.0926031745872299-π/2
    0.18520634917446-1.57079632675     		φ = -1.38558998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38558998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.388458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81500 KachelY 115113 0.76526467 -1.38558998 43.846436 -79.388458
    Oben rechts KachelX + 1 81501 KachelY 115113 0.76531260 -1.38558998 43.849182 -79.388458
    Unten links KachelX 81500 KachelY + 1 115114 0.76526467 -1.38559880 43.846436 -79.388963
    Unten rechts KachelX + 1 81501 KachelY + 1 115114 0.76531260 -1.38559880 43.849182 -79.388963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38558998--1.38559880) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38558998--1.38559880) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76526467-0.76531260) × cos(-1.38558998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184149355355377 × 6371000     		do = 56.2322209745438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76526467-0.76531260) × cos(-1.38559880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184140686185448 × 6371000     		du = 56.2295737392157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38558998)-sin(-1.38559880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184149355355377-0.184140686185448)×R²
    abs(0.76531260-0.76526467)×8.66916992972588e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.66916992972588e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.66916992972588e-06×40589641000000     		ar = 3159.73895491642m²