Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81496 / 20050
↖ ↑ ↗
← N 77.107005°
E 43.835449°		 ← 68.14 m → N 77.107005°
E 43.838196°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.106392°
E 43.835449°		 ← 68.14 m →
4 645 m²		 N 77.106392°
E 43.838196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621768951416016 y=0.152973175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621768951416016 × 217)
    floor (0.621768951416016 × 131072)
    floor (81496.5)     		tx = 81496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152973175048828 × 217)
    floor (0.152973175048828 × 131072)
    floor (20050.5)     		ty = 20050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81496 / 20050 ti = "17/81496/20050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81496/20050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81496 ÷ 217
    81496 ÷ 131072     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20050 ÷ 217
    20050 ÷ 131072     		y = 0.152969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152969360351562 × 2 - 1) × π
    0.694061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18045781611787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18045781611787))-π/2
    2×atan(8.85035716752469)-π/2
    2×1.45828372190597-π/2
    2.91656744381194-1.57079632675     		φ = 1.34577112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34577112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.107005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81496 KachelY 20050 0.76507292 1.34577112 43.835449 77.107005
    Oben rechts KachelX + 1 81497 KachelY 20050 0.76512085 1.34577112 43.838196 77.107005
    Unten links KachelX 81496 KachelY + 1 20051 0.76507292 1.34576042 43.835449 77.106392
    Unten rechts KachelX + 1 81497 KachelY + 1 20051 0.76512085 1.34576042 43.838196 77.106392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34577112-1.34576042) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34577112-1.34576042) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76512085) × cos(1.34577112) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223130933495987 × 6371000     		do = 68.1357148080135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76512085) × cos(1.34576042) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223141363719982 × 6371000     		du = 68.1388998023858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34577112)-sin(1.34576042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223130933495987-0.223141363719982)×R²
    abs(0.76512085-0.76507292)×1.04302239944121e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04302239944121e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04302239944121e-05×40589641000000     		ar = 4644.89979791354m²