Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81495 / 20051
↖ ↑ ↗
← N 77.106392°
E 43.832703°		 ← 68.15 m → N 77.106392°
E 43.835449°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.105779°
E 43.832703°		 ← 68.16 m →
4 646 m²		 N 77.105779°
E 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621761322021484 y=0.152980804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621761322021484 × 217)
    floor (0.621761322021484 × 131072)
    floor (81495.5)     		tx = 81495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152980804443359 × 217)
    floor (0.152980804443359 × 131072)
    floor (20051.5)     		ty = 20051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81495 / 20051 ti = "17/81495/20051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81495/20051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81495 ÷ 217
    81495 ÷ 131072     		x = 0.621757507324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20051 ÷ 217
    20051 ÷ 131072     		y = 0.152976989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621757507324219 × 2 - 1) × π
    0.243515014648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76502498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152976989746094 × 2 - 1) × π
    0.694046020507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.18040987921825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76502498} λ = 0.76502498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18040987921825))-π/2
    2×atan(8.84993291901021)-π/2
    2×1.45827837367836-π/2
    2.91655674735672-1.57079632675     		φ = 1.34576042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76502498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.832703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34576042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.106392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81495 KachelY 20051 0.76502498 1.34576042 43.832703 77.106392
    Oben rechts KachelX + 1 81496 KachelY 20051 0.76507292 1.34576042 43.835449 77.106392
    Unten links KachelX 81495 KachelY + 1 20052 0.76502498 1.34574972 43.832703 77.105779
    Unten rechts KachelX + 1 81496 KachelY + 1 20052 0.76507292 1.34574972 43.835449 77.105779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34576042-1.34574972) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34576042-1.34574972) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76502498-0.76507292) × cos(1.34576042) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223141363719982 × 6371000     		do = 68.1531161388977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76502498-0.76507292) × cos(1.34574972) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223151793918429 × 6371000     		du = 68.1563017899767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34576042)-sin(1.34574972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223141363719982-0.223151793918429)×R²
    abs(0.76507292-0.76502498)×1.0430198446959e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0430198446959e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0430198446959e-05×40589641000000     		ar = 4646.08606384631m²