Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81494 / 19538
↖ ↑ ↗
← N 77.417058°
E 43.829956°		 ← 66.54 m → N 77.417058°
E 43.832703°		 →
↑
66.58 m
↓
↑
66.58 m
↓
N 77.416459°
E 43.829956°		 ← 66.54 m →
4 430 m²		 N 77.416459°
E 43.832703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621753692626953 y=0.149066925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621753692626953 × 217)
    floor (0.621753692626953 × 131072)
    floor (81494.5)     		tx = 81494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149066925048828 × 217)
    floor (0.149066925048828 × 131072)
    floor (19538.5)     		ty = 19538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81494 / 19538 ti = "17/81494/19538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81494/19538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81494 ÷ 217
    81494 ÷ 131072     		x = 0.621749877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19538 ÷ 217
    19538 ÷ 131072     		y = 0.149063110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621749877929688 × 2 - 1) × π
    0.243499755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76497704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149063110351562 × 2 - 1) × π
    0.701873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20500150872334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76497704} λ = 0.76497704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20500150872334))-π/2
    2×atan(9.070265252367)-π/2
    2×1.4609894409163-π/2
    2.9219788818326-1.57079632675     		φ = 1.35118256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76497704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.829956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35118256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.417058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81494 KachelY 19538 0.76497704 1.35118256 43.829956 77.417058
    Oben rechts KachelX + 1 81495 KachelY 19538 0.76502498 1.35118256 43.832703 77.417058
    Unten links KachelX 81494 KachelY + 1 19539 0.76497704 1.35117211 43.829956 77.416459
    Unten rechts KachelX + 1 81495 KachelY + 1 19539 0.76502498 1.35117211 43.832703 77.416459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35118256-1.35117211) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dl = 66.5769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35118256-1.35117211) × R
    1.04499999999952e-05 × 6371000     		dr = 66.5769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76497704-0.76502498) × cos(1.35118256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217852682813213 × 6371000     		do = 66.5378168591672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76497704-0.76502498) × cos(1.35117211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217862881809707 × 6371000     		du = 66.5409318952187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35118256)-sin(1.35117211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217852682813213-0.217862881809707)×R²
    abs(0.76502498-0.76497704)×1.0198996494265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0198996494265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0198996494265e-05×40589641000000     		ar = 4429.98860088398m²