Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81491 / 114863
↖ ↑ ↗
← S 79.261265°
E 43.821716°		 ← 56.91 m → S 79.261265°
E 43.824463°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
S 79.261777°
E 43.821716°		 ← 56.91 m →
3 241 m²		 S 79.261777°
E 43.824463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621730804443359 y=0.876338958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621730804443359 × 217)
    floor (0.621730804443359 × 131072)
    floor (81491.5)     		tx = 81491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876338958740234 × 217)
    floor (0.876338958740234 × 131072)
    floor (114863.5)     		ty = 114863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81491 / 114863 ti = "17/81491/114863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81491/114863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81491 ÷ 217
    81491 ÷ 131072     		x = 0.621726989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114863 ÷ 217
    114863 ÷ 131072     		y = 0.876335144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621726989746094 × 2 - 1) × π
    0.243453979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.76483323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876335144042969 × 2 - 1) × π
    -0.752670288085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.36458344755851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76483323} λ = 0.76483323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36458344755851))-π/2
    2×atan(0.0939884433309063)-π/2
    2×0.0937131418128716-π/2
    0.187426283625743-1.57079632675     		φ = -1.38337004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76483323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.821716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38337004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.261265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81491 KachelY 114863 0.76483323 -1.38337004 43.821716 -79.261265
    Oben rechts KachelX + 1 81492 KachelY 114863 0.76488117 -1.38337004 43.824463 -79.261265
    Unten links KachelX 81491 KachelY + 1 114864 0.76483323 -1.38337898 43.821716 -79.261777
    Unten rechts KachelX + 1 81492 KachelY + 1 114864 0.76488117 -1.38337898 43.824463 -79.261777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38337004--1.38337898) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38337004--1.38337898) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76483323-0.76488117) × cos(-1.38337004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186330874999074 × 6371000     		do = 56.9102453814025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76483323-0.76488117) × cos(-1.38337898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186322091557394 × 6371000     		du = 56.9075626922275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38337004)-sin(-1.38337898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186330874999074-0.186322091557394)×R²
    abs(0.76488117-0.76483323)×8.78344168037115e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78344168037115e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78344168037115e-06×40589641000000     		ar = 3241.34565107819m²