Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81489 / 19953
↖ ↑ ↗
← N 77.166317°
E 43.816223°		 ← 67.84 m → N 77.166317°
E 43.818970°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.165707°
E 43.816223°		 ← 67.84 m →
4 603 m²		 N 77.165707°
E 43.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621715545654297 y=0.152233123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621715545654297 × 217)
    floor (0.621715545654297 × 131072)
    floor (81489.5)     		tx = 81489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152233123779297 × 217)
    floor (0.152233123779297 × 131072)
    floor (19953.5)     		ty = 19953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81489 / 19953 ti = "17/81489/19953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81489/19953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81489 ÷ 217
    81489 ÷ 131072     		x = 0.621711730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19953 ÷ 217
    19953 ÷ 131072     		y = 0.152229309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621711730957031 × 2 - 1) × π
    0.243423461914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.76473736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152229309082031 × 2 - 1) × π
    0.695541381835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18510769538102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76473736} λ = 0.76473736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18510769538102))-π/2
    2×atan(8.89160608671487)-π/2
    2×1.45880131385288-π/2
    2.91760262770577-1.57079632675     		φ = 1.34680630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76473736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.816223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34680630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.166317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81489 KachelY 19953 0.76473736 1.34680630 43.816223 77.166317
    Oben rechts KachelX + 1 81490 KachelY 19953 0.76478530 1.34680630 43.818970 77.166317
    Unten links KachelX 81489 KachelY + 1 19954 0.76473736 1.34679565 43.816223 77.165707
    Unten rechts KachelX + 1 81490 KachelY + 1 19954 0.76478530 1.34679565 43.818970 77.165707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34680630-1.34679565) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dl = 67.8511499992986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34680630-1.34679565) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dr = 67.8511499992986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76473736-0.76478530) × cos(1.34680630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222121732581136 × 6371000     		do = 67.8416945436311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76473736-0.76478530) × cos(1.34679565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222132116520264 × 6371000     		du = 67.8448660659233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34680630)-sin(1.34679565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222121732581136-0.222132116520264)×R²
    abs(0.76478530-0.76473736)×1.03839391278615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03839391278615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03839391278615e-05×40589641000000     		ar = 4603.24458850855m²