Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81487 / 19954
↖ ↑ ↗
← N 77.165707°
E 43.810730°		 ← 67.83 m → N 77.165707°
E 43.813476°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.165096°
E 43.810730°		 ← 67.83 m →
4 602 m²		 N 77.165096°
E 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621700286865234 y=0.152240753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621700286865234 × 217)
    floor (0.621700286865234 × 131072)
    floor (81487.5)     		tx = 81487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152240753173828 × 217)
    floor (0.152240753173828 × 131072)
    floor (19954.5)     		ty = 19954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81487 / 19954 ti = "17/81487/19954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81487/19954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81487 ÷ 217
    81487 ÷ 131072     		x = 0.621696472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19954 ÷ 217
    19954 ÷ 131072     		y = 0.152236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621696472167969 × 2 - 1) × π
    0.243392944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76464149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152236938476562 × 2 - 1) × π
    0.695526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1850597584814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76464149} λ = 0.76464149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1850597584814))-π/2
    2×atan(8.89117986090249)-π/2
    2×1.45879598981489-π/2
    2.91759197962977-1.57079632675     		φ = 1.34679565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76464149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.810730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34679565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.165707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81487 KachelY 19954 0.76464149 1.34679565 43.810730 77.165707
    Oben rechts KachelX + 1 81488 KachelY 19954 0.76468942 1.34679565 43.813476 77.165707
    Unten links KachelX 81487 KachelY + 1 19955 0.76464149 1.34678500 43.810730 77.165096
    Unten rechts KachelX + 1 81488 KachelY + 1 19955 0.76468942 1.34678500 43.813476 77.165096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34679565-1.34678500) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dl = 67.8511500007133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34679565-1.34678500) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dr = 67.8511500007133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76464149-0.76468942) × cos(1.34679565) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222132116520264 × 6371000     		do = 67.8307140287087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76464149-0.76468942) × cos(1.34678500) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222142500434197 × 6371000     		du = 67.8338848817467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34679565)-sin(1.34678500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222132116520264-0.222142500434197)×R²
    abs(0.76468942-0.76464149)×1.03839139332929e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03839139332929e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03839139332929e-05×40589641000000     		ar = 4602.49952534337m²