Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81485 / 19525
↖ ↑ ↗
← N 77.424834°
E 43.805237°		 ← 66.50 m → N 77.424834°
E 43.807983°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.424236°
E 43.805237°		 ← 66.50 m →
4 423 m²		 N 77.424236°
E 43.807983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621685028076172 y=0.148967742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621685028076172 × 217)
    floor (0.621685028076172 × 131072)
    floor (81485.5)     		tx = 81485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148967742919922 × 217)
    floor (0.148967742919922 × 131072)
    floor (19525.5)     		ty = 19525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81485 / 19525 ti = "17/81485/19525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81485/19525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81485 ÷ 217
    81485 ÷ 131072     		x = 0.621681213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19525 ÷ 217
    19525 ÷ 131072     		y = 0.148963928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621681213378906 × 2 - 1) × π
    0.243362426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.76454561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148963928222656 × 2 - 1) × π
    0.702072143554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.2056246884184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76454561} λ = 0.76454561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2056246884184))-π/2
    2×atan(9.07591941909906)-π/2
    2×1.46105730096308-π/2
    2.92211460192617-1.57079632675     		φ = 1.35131828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76454561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.805237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35131828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.424834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81485 KachelY 19525 0.76454561 1.35131828 43.805237 77.424834
    Oben rechts KachelX + 1 81486 KachelY 19525 0.76459355 1.35131828 43.807983 77.424834
    Unten links KachelX 81485 KachelY + 1 19526 0.76454561 1.35130784 43.805237 77.424236
    Unten rechts KachelX + 1 81486 KachelY + 1 19526 0.76459355 1.35130784 43.807983 77.424236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35131828-1.35130784) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35131828-1.35130784) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76454561-0.76459355) × cos(1.35131828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217720220575758 × 6371000     		do = 66.4973594822706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76454561-0.76459355) × cos(1.35130784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217730410121051 × 6371000     		du = 66.5004716316819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35131828)-sin(1.35130784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217720220575758-0.217730410121051)×R²
    abs(0.76459355-0.76454561)×1.01895452929435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01895452929435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01895452929435e-05×40589641000000     		ar = 4423.05833026136m²