Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81484 / 115084
↖ ↑ ↗
← S 79.373780°
E 43.802491°		 ← 56.31 m → S 79.373780°
E 43.805237°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.374286°
E 43.802491°		 ← 56.31 m →
3 171 m²		 S 79.374286°
E 43.805237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621677398681641 y=0.878025054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621677398681641 × 217)
    floor (0.621677398681641 × 131072)
    floor (81484.5)     		tx = 81484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878025054931641 × 217)
    floor (0.878025054931641 × 131072)
    floor (115084.5)     		ty = 115084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81484 / 115084 ti = "17/81484/115084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81484/115084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81484 ÷ 217
    81484 ÷ 131072     		x = 0.621673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115084 ÷ 217
    115084 ÷ 131072     		y = 0.878021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621673583984375 × 2 - 1) × π
    0.24334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76449768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.75604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37517750237454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76449768} λ = 0.76449768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37517750237454))-π/2
    2×atan(0.0929979803831831)-π/2
    2×0.0927312615391229-π/2
    0.185462523078246-1.57079632675     		φ = -1.38533380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76449768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.802491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38533380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.373780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81484 KachelY 115084 0.76449768 -1.38533380 43.802491 -79.373780
    Oben rechts KachelX + 1 81485 KachelY 115084 0.76454561 -1.38533380 43.805237 -79.373780
    Unten links KachelX 81484 KachelY + 1 115085 0.76449768 -1.38534264 43.802491 -79.374286
    Unten rechts KachelX + 1 81485 KachelY + 1 115085 0.76454561 -1.38534264 43.805237 -79.374286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38533380--1.38534264) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38533380--1.38534264) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76449768-0.76454561) × cos(-1.38533380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184401148189487 × 6371000     		do = 56.309108945507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76449768-0.76454561) × cos(-1.38534264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184392459778865 × 6371000     		du = 56.306455834802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38533380)-sin(-1.38534264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184401148189487-0.184392459778865)×R²
    abs(0.76454561-0.76449768)×8.68841062215409e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.68841062215409e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.68841062215409e-06×40589641000000     		ar = 3171.23403342516m²