Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81481 / 19531
↖ ↑ ↗
← N 77.421246°
E 43.794250°		 ← 66.52 m → N 77.421246°
E 43.796997°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.420648°
E 43.794250°		 ← 66.52 m →
4 424 m²		 N 77.420648°
E 43.796997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621654510498047 y=0.149013519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621654510498047 × 217)
    floor (0.621654510498047 × 131072)
    floor (81481.5)     		tx = 81481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149013519287109 × 217)
    floor (0.149013519287109 × 131072)
    floor (19531.5)     		ty = 19531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81481 / 19531 ti = "17/81481/19531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81481/19531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81481 ÷ 217
    81481 ÷ 131072     		x = 0.621650695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19531 ÷ 217
    19531 ÷ 131072     		y = 0.149009704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621650695800781 × 2 - 1) × π
    0.243301391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.76435386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149009704589844 × 2 - 1) × π
    0.701980590820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.20533706702068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76435386} λ = 0.76435386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20533706702068))-π/2
    2×atan(9.07330936584171)-π/2
    2×1.46102598607016-π/2
    2.92205197214033-1.57079632675     		φ = 1.35125565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76435386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.794250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35125565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.421246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81481 KachelY 19531 0.76435386 1.35125565 43.794250 77.421246
    Oben rechts KachelX + 1 81482 KachelY 19531 0.76440180 1.35125565 43.796997 77.421246
    Unten links KachelX 81481 KachelY + 1 19532 0.76435386 1.35124521 43.794250 77.420648
    Unten rechts KachelX + 1 81482 KachelY + 1 19532 0.76440180 1.35124521 43.796997 77.420648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35125565-1.35124521) × R
    1.04399999998339e-05 × 6371000     		dl = 66.5132399989419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35125565-1.35124521) × R
    1.04399999998339e-05 × 6371000     		dr = 66.5132399989419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76435386-0.76440180) × cos(1.35125565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217781347731549 × 6371000     		do = 66.5160292890621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76435386-0.76440180) × cos(1.35124521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217791537134461 × 6371000     		du = 66.5191413949865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35125565)-sin(1.35124521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217781347731549-0.217791537134461)×R²
    abs(0.76440180-0.76435386)×1.01894029114757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01894029114757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01894029114757e-05×40589641000000     		ar = 4424.30011789704m²