Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81479 / 114892
↖ ↑ ↗
← S 79.276096°
E 43.788757°		 ← 56.83 m → S 79.276096°
E 43.791504°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.276607°
E 43.788757°		 ← 56.83 m →
3 230 m²		 S 79.276607°
E 43.791504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621639251708984 y=0.876560211181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621639251708984 × 217)
    floor (0.621639251708984 × 131072)
    floor (81479.5)     		tx = 81479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876560211181641 × 217)
    floor (0.876560211181641 × 131072)
    floor (114892.5)     		ty = 114892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81479 / 114892 ti = "17/81479/114892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81479/114892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81479 ÷ 217
    81479 ÷ 131072     		x = 0.621635437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114892 ÷ 217
    114892 ÷ 131072     		y = 0.876556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621635437011719 × 2 - 1) × π
    0.243270874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.76425799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.75311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36597361764749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76425799} λ = 0.76425799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36597361764749))-π/2
    2×atan(0.0938578741859655)-π/2
    2×0.0935837144195915-π/2
    0.187167428839183-1.57079632675     		φ = -1.38362890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76425799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.788757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38362890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.276096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81479 KachelY 114892 0.76425799 -1.38362890 43.788757 -79.276096
    Oben rechts KachelX + 1 81480 KachelY 114892 0.76430593 -1.38362890 43.791504 -79.276096
    Unten links KachelX 81479 KachelY + 1 114893 0.76425799 -1.38363782 43.788757 -79.276607
    Unten rechts KachelX + 1 81480 KachelY + 1 114893 0.76430593 -1.38363782 43.791504 -79.276607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38362890--1.38363782) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38362890--1.38363782) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76425799-0.76430593) × cos(-1.38362890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186076542161064 × 6371000     		do = 56.832565586147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76425799-0.76430593) × cos(-1.38363782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186067777939218 × 6371000     		du = 56.8298887672041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38362890)-sin(-1.38363782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186076542161064-0.186067777939218)×R²
    abs(0.76430593-0.76425799)×8.76422184603598e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76422184603598e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76422184603598e-06×40589641000000     		ar = 3229.67999515581m²