Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81477 / 114893
↖ ↑ ↗
← S 79.276607°
E 43.783264°		 ← 56.82 m → S 79.276607°
E 43.786011°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
S 79.277119°
E 43.783264°		 ← 56.82 m →
3 229 m²		 S 79.277119°
E 43.786011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621623992919922 y=0.876567840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621623992919922 × 217)
    floor (0.621623992919922 × 131072)
    floor (81477.5)     		tx = 81477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876567840576172 × 217)
    floor (0.876567840576172 × 131072)
    floor (114893.5)     		ty = 114893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81477 / 114893 ti = "17/81477/114893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81477/114893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81477 ÷ 217
    81477 ÷ 131072     		x = 0.621620178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114893 ÷ 217
    114893 ÷ 131072     		y = 0.876564025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621620178222656 × 2 - 1) × π
    0.243240356445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.76416212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876564025878906 × 2 - 1) × π
    -0.753128051757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36602155454711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76416212} λ = 0.76416212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36602155454711))-π/2
    2×atan(0.0938533750383105)-π/2
    2×0.0935792545583117-π/2
    0.187158509116623-1.57079632675     		φ = -1.38363782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76416212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.783264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38363782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.276607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81477 KachelY 114893 0.76416212 -1.38363782 43.783264 -79.276607
    Oben rechts KachelX + 1 81478 KachelY 114893 0.76421005 -1.38363782 43.786011 -79.276607
    Unten links KachelX 81477 KachelY + 1 114894 0.76416212 -1.38364674 43.783264 -79.277119
    Unten rechts KachelX + 1 81478 KachelY + 1 114894 0.76421005 -1.38364674 43.786011 -79.277119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38363782--1.38364674) × R
    8.92000000018989e-06 × 6371000     		dl = 56.8293200012098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38363782--1.38364674) × R
    8.92000000018989e-06 × 6371000     		dr = 56.8293200012098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76416212-0.76421005) × cos(-1.38363782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186067777939218 × 6371000     		do = 56.8180343891437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76416212-0.76421005) × cos(-1.38364674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186059013702567 × 6371000     		du = 56.8153581240485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38363782)-sin(-1.38364674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186067777939218-0.186059013702567)×R²
    abs(0.76421005-0.76416212)×8.76423665099879e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76423665099879e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76423665099879e-06×40589641000000     		ar = 3228.8542128789m²