Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81474 / 19520
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
E 43.775025°		 ← 66.47 m → N 77.427823°
E 43.777771°		 →
↑
66.45 m
↓
↑
66.45 m
↓
N 77.427226°
E 43.775025°		 ← 66.47 m →
4 417 m²		 N 77.427226°
E 43.777771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621601104736328 y=0.148929595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621601104736328 × 217)
    floor (0.621601104736328 × 131072)
    floor (81474.5)     		tx = 81474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148929595947266 × 217)
    floor (0.148929595947266 × 131072)
    floor (19520.5)     		ty = 19520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81474 / 19520 ti = "17/81474/19520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81474/19520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81474 ÷ 217
    81474 ÷ 131072     		x = 0.621597290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19520 ÷ 217
    19520 ÷ 131072     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621597290039062 × 2 - 1) × π
    0.243194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76401831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76401831} λ = 0.76401831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76401831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.775025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81474 KachelY 19520 0.76401831 1.35137045 43.775025 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 81475 KachelY 19520 0.76406624 1.35137045 43.777771 77.427823
    Unten links KachelX 81474 KachelY + 1 19521 0.76401831 1.35136002 43.775025 77.427226
    Unten rechts KachelX + 1 81475 KachelY + 1 19521 0.76406624 1.35136002 43.777771 77.427226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35136002) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dl = 66.4495299993291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35136002) × R
    1.04299999998947e-05 × 6371000     		dr = 66.4495299993291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76401831-0.76406624) × cos(1.35137045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 66.4679398584448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76401831-0.76406624) × cos(1.35136002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217679481677703 × 6371000     		du = 66.4710484144919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35136002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.217679481677703)×R²
    abs(0.76406624-0.76401831)×1.01799036609784e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01799036609784e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01799036609784e-05×40589641000000     		ar = 4416.86664482823m²