Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81471 / 19521
↖ ↑ ↗
← N 77.427226°
E 43.766785°		 ← 66.47 m → N 77.427226°
E 43.769531°		 →
↑
66.51 m
↓
↑
66.51 m
↓
N 77.426628°
E 43.766785°		 ← 66.47 m →
4 421 m²		 N 77.426628°
E 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621578216552734 y=0.148937225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621578216552734 × 217)
    floor (0.621578216552734 × 131072)
    floor (81471.5)     		tx = 81471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148937225341797 × 217)
    floor (0.148937225341797 × 131072)
    floor (19521.5)     		ty = 19521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81471 / 19521 ti = "17/81471/19521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81471/19521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81471 ÷ 217
    81471 ÷ 131072     		x = 0.621574401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19521 ÷ 217
    19521 ÷ 131072     		y = 0.148933410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621574401855469 × 2 - 1) × π
    0.243148803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76387450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148933410644531 × 2 - 1) × π
    0.702133178710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.20581643601688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76387450} λ = 0.76387450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20581643601688))-π/2
    2×atan(9.07765987171014)-π/2
    2×1.46107817267514-π/2
    2.92215634535028-1.57079632675     		φ = 1.35136002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76387450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.766785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35136002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81471 KachelY 19521 0.76387450 1.35136002 43.766785 77.427226
    Oben rechts KachelX + 1 81472 KachelY 19521 0.76392243 1.35136002 43.769531 77.427226
    Unten links KachelX 81471 KachelY + 1 19522 0.76387450 1.35134958 43.766785 77.426628
    Unten rechts KachelX + 1 81472 KachelY + 1 19522 0.76392243 1.35134958 43.769531 77.426628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35136002-1.35134958) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dl = 66.5132400003565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35136002-1.35134958) × R
    1.0440000000056e-05 × 6371000     		dr = 66.5132400003565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76387450-0.76392243) × cos(1.35136002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217679481677703 × 6371000     		do = 66.4710484144919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76387450-0.76392243) × cos(1.35134958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.217689671317864 × 6371000     		du = 66.4741599436965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35136002)-sin(1.35134958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217679481677703-0.217689671317864)×R²
    abs(0.76392243-0.76387450)×1.01896401612511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01896401612511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01896401612511e-05×40589641000000     		ar = 4421.30827512814m²