Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81471 / 114999
↖ ↑ ↗
← S 79.330644°
E 43.766785°		 ← 56.54 m → S 79.330644°
E 43.769531°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
S 79.331152°
E 43.766785°		 ← 56.53 m →
3 195 m²		 S 79.331152°
E 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621578216552734 y=0.877376556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621578216552734 × 217)
    floor (0.621578216552734 × 131072)
    floor (81471.5)     		tx = 81471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877376556396484 × 217)
    floor (0.877376556396484 × 131072)
    floor (114999.5)     		ty = 114999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81471 / 114999 ti = "17/81471/114999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81471/114999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81471 ÷ 217
    81471 ÷ 131072     		x = 0.621574401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114999 ÷ 217
    114999 ÷ 131072     		y = 0.877372741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621574401855469 × 2 - 1) × π
    0.243148803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.76387450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877372741699219 × 2 - 1) × π
    -0.754745483398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.37110286590684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76387450} λ = 0.76387450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37110286590684))-π/2
    2×atan(0.0933776864021272)-π/2
    2×0.0931076985848251-π/2
    0.18621539716965-1.57079632675     		φ = -1.38458093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76387450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.766785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38458093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.330644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81471 KachelY 114999 0.76387450 -1.38458093 43.766785 -79.330644
    Oben rechts KachelX + 1 81472 KachelY 114999 0.76392243 -1.38458093 43.769531 -79.330644
    Unten links KachelX 81471 KachelY + 1 115000 0.76387450 -1.38458980 43.766785 -79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 81472 KachelY + 1 115000 0.76392243 -1.38458980 43.769531 -79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38458093--1.38458980) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38458093--1.38458980) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76387450-0.76392243) × cos(-1.38458093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185141054940607 × 6371000     		do = 56.5350483730399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76387450-0.76392243) × cos(-1.38458980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 56.5323866353333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38458093)-sin(-1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185141054940607-0.185132338278268)×R²
    abs(0.76392243-0.76387450)×8.71666233873136e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71666233873136e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71666233873136e-06×40589641000000     		ar = 3194.76390723481m²