Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8147 / 4028
↖ ↑ ↗
← N 67.101655°
W  0.988769°		 ← 950.65 m → N 67.101655°
W  0.966797°		 →
↑
950.81 m
↓
↑
950.81 m
↓
N 67.093105°
W  0.988769°		 ← 950.98 m →
904 044 m²		 N 67.093105°
W  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497283935546875 y=0.245880126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497283935546875 × 214)
    floor (0.497283935546875 × 16384)
    floor (8147.5)     		tx = 8147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245880126953125 × 214)
    floor (0.245880126953125 × 16384)
    floor (4028.5)     		ty = 4028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8147 / 4028 ti = "14/8147/4028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8147/4028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8147 ÷ 214
    8147 ÷ 16384     		x = 0.49725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4028 ÷ 214
    4028 ÷ 16384     		y = 0.245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01725728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245849609375 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01725728} λ = -0.01725728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59687400014331))-π/2
    2×atan(4.93757342075648)-π/2
    2×1.37097057466406-π/2
    2.74194114932812-1.57079632675     		φ = 1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01725728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8147 KachelY 4028 -0.01725728 1.17114482 -0.988769 67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 8148 KachelY 4028 -0.01687379 1.17114482 -0.966797 67.101655
    Unten links KachelX 8147 KachelY + 1 4029 -0.01725728 1.17099558 -0.988769 67.093105
    Unten rechts KachelX + 1 8148 KachelY + 1 4029 -0.01687379 1.17099558 -0.966797 67.093105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17114482-1.17099558) × R
    0.00014924000000005 × 6371000     		dl = 950.808040000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17114482-1.17099558) × R
    0.00014924000000005 × 6371000     		dr = 950.808040000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01725728--0.01687379) × cos(1.17114482) × R
    0.00038349 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 950.648364037682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01725728--0.01687379) × cos(1.17099558) × R
    0.00038349 × 0.389234810224402 × 6371000     		du = 950.984245123102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17114482)-sin(1.17099558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.389234810224402)×R²
    abs(-0.01687379--0.01725728)×0.00013747505409456×R²
    0.00038349×0.00013747505409456×6371000²
    0.00038349×0.00013747505409456×40589641000000     		ar = 904043.788636262m²