Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81468 / 20028
↖ ↑ ↗
← N 77.120481°
E 43.758545°		 ← 68.08 m → N 77.120481°
E 43.761291°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.119869°
E 43.758545°		 ← 68.08 m →
4 632 m²		 N 77.119869°
E 43.761291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621555328369141 y=0.152805328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621555328369141 × 217)
    floor (0.621555328369141 × 131072)
    floor (81468.5)     		tx = 81468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152805328369141 × 217)
    floor (0.152805328369141 × 131072)
    floor (20028.5)     		ty = 20028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81468 / 20028 ti = "17/81468/20028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81468/20028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81468 ÷ 217
    81468 ÷ 131072     		x = 0.621551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20028 ÷ 217
    20028 ÷ 131072     		y = 0.152801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621551513671875 × 2 - 1) × π
    0.24310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76373068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152801513671875 × 2 - 1) × π
    0.69439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18151242790952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76373068} λ = 0.76373068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18151242790952))-π/2
    2×atan(8.85969578199473)-π/2
    2×1.45840131970619-π/2
    2.91680263941237-1.57079632675     		φ = 1.34600631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76373068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.758545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34600631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.120481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81468 KachelY 20028 0.76373068 1.34600631 43.758545 77.120481
    Oben rechts KachelX + 1 81469 KachelY 20028 0.76377862 1.34600631 43.761291 77.120481
    Unten links KachelX 81468 KachelY + 1 20029 0.76373068 1.34599563 43.758545 77.119869
    Unten rechts KachelX + 1 81469 KachelY + 1 20029 0.76377862 1.34599563 43.761291 77.119869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34600631-1.34599563) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34600631-1.34599563) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76373068-0.76377862) × cos(1.34600631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222901666823623 × 6371000     		do = 68.0799065367939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76373068-0.76377862) × cos(1.34599563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222912078112087 × 6371000     		du = 68.0830864122775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34600631)-sin(1.34599563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222901666823623-0.222912078112087)×R²
    abs(0.76377862-0.76373068)×1.04112884642682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04112884642682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04112884642682e-05×40589641000000     		ar = 4632.42024587929m²