Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81466 / 114868
↖ ↑ ↗
← S 79.263824°
E 43.753052°		 ← 56.90 m → S 79.263824°
E 43.755798°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
S 79.264335°
E 43.753052°		 ← 56.89 m →
3 237 m²		 S 79.264335°
E 43.755798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621540069580078 y=0.876377105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621540069580078 × 217)
    floor (0.621540069580078 × 131072)
    floor (81466.5)     		tx = 81466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876377105712891 × 217)
    floor (0.876377105712891 × 131072)
    floor (114868.5)     		ty = 114868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81466 / 114868 ti = "17/81466/114868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81466/114868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81466 ÷ 217
    81466 ÷ 131072     		x = 0.621536254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114868 ÷ 217
    114868 ÷ 131072     		y = 0.876373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621536254882812 × 2 - 1) × π
    0.243072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76363481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.75274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36482313205661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76363481} λ = 0.76363481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36482313205661))-π/2
    2×atan(0.0939659184575786)-π/2
    2×0.0936908141311664-π/2
    0.187381628262333-1.57079632675     		φ = -1.38341470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76363481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.753052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38341470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.263824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81466 KachelY 114868 0.76363481 -1.38341470 43.753052 -79.263824
    Oben rechts KachelX + 1 81467 KachelY 114868 0.76368275 -1.38341470 43.755798 -79.263824
    Unten links KachelX 81466 KachelY + 1 114869 0.76363481 -1.38342363 43.753052 -79.264335
    Unten rechts KachelX + 1 81467 KachelY + 1 114869 0.76368275 -1.38342363 43.755798 -79.264335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38341470--1.38342363) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38341470--1.38342363) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76363481-0.76368275) × cos(-1.38341470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		do = 56.8968438932223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76363481-0.76368275) × cos(-1.38342363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186278223250486 × 6371000     		du = 56.8941641821274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38341470)-sin(-1.38342363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186286996941579-0.186278223250486)×R²
    abs(0.76368275-0.76363481)×8.77369109386628e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.77369109386628e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.77369109386628e-06×40589641000000     		ar = 3236.95761799939m²