Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81462 / 20024
↖ ↑ ↗
← N 77.122930°
E 43.742065°		 ← 68.07 m → N 77.122930°
E 43.744812°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.122318°
E 43.742065°		 ← 68.07 m →
4 632 m²		 N 77.122318°
E 43.744812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621509552001953 y=0.152774810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621509552001953 × 217)
    floor (0.621509552001953 × 131072)
    floor (81462.5)     		tx = 81462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152774810791016 × 217)
    floor (0.152774810791016 × 131072)
    floor (20024.5)     		ty = 20024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81462 / 20024 ti = "17/81462/20024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81462/20024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81462 ÷ 217
    81462 ÷ 131072     		x = 0.621505737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20024 ÷ 217
    20024 ÷ 131072     		y = 0.15277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621505737304688 × 2 - 1) × π
    0.243011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76344306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15277099609375 × 2 - 1) × π
    0.6944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.181704175508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76344306} λ = 0.76344306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.181704175508))-π/2
    2×atan(8.86139477026745)-π/2
    2×1.4584226881384-π/2
    2.91684537627679-1.57079632675     		φ = 1.34604905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76344306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.742065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34604905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.122930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81462 KachelY 20024 0.76344306 1.34604905 43.742065 77.122930
    Oben rechts KachelX + 1 81463 KachelY 20024 0.76349100 1.34604905 43.744812 77.122930
    Unten links KachelX 81462 KachelY + 1 20025 0.76344306 1.34603837 43.742065 77.122318
    Unten rechts KachelX + 1 81463 KachelY + 1 20025 0.76349100 1.34603837 43.744812 77.122318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34604905-1.34603837) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34604905-1.34603837) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76344306-0.76349100) × cos(1.34604905) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222860001918521 × 6371000     		do = 68.0671810024788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76344306-0.76349100) × cos(1.34603837) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222870413308725 × 6371000     		du = 68.0703609090362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34604905)-sin(1.34603837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222860001918521-0.222870413308725)×R²
    abs(0.76349100-0.76344306)×1.04113902035796e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04113902035796e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04113902035796e-05×40589641000000     		ar = 4631.55437263609m²